为什么t+4/t,t∈(0,1]时不能用均值不等式求最小值

Question

如题所述

Answer 1

对于函数f(t) = t + 4/t，在t∈(0,1]的范围内，我们不能直接使用均值不等式来求最小值。原因如下：

均值不等式是一个常用的数学工具，用于比较函数的平均值和极限值。其中，均值不等式包括算术平均值（AM）不小于几何平均值（GM），即对于任意非负实数a和b，有a+b/2 ≥ √(ab)。

然而，在这个问题中，函数f(t) = t + 4/t 不符合均值不等式的条件。原因是它在[0,1]上不是严格单调递增的。事实上，在该区间上，函数f(t)有可求导的零点，即f'(t) = 1 - 4/t^2 = 0，解得t=±2，其中只有t=2落在[0,1]的范围内。

当t ∈ (0,1]时，f(t)的取值范围是(5, ∞)，不存在最小值。因此，我们不能用均值不等式来求f(t)的最小值。

综上所述，对于函数f(t) = t + 4/t，在t ∈ (0,1]的范围内，不能使用均值不等式来求最小值。