如何利用坐标求线段长公式？

Question

如题所述

Answer 1

在平面几何中，如果已知线段的两个端点坐标，可以使用坐标求线段长公式来计算线段的长度。假设有两个点A和B，它们的坐标分别为
(
𝑥
1
,
𝑦
1
)
(x
1
​
,y
1
​
)和
(
𝑥
2
,
𝑦
2
)
(x
2
​
,y
2
​
)，那么线段AB的长度可以通过以下步骤来求解：
首先，计算两点在x轴方向的距离差，即横坐标之差的绝对值：
𝐷
𝑒
𝑙
𝑡
𝑎
𝑥
=
∣
𝑥
2
−
𝑥
1
∣
Deltax=∣x
2
​
−x
1
​
∣。
然后，计算两点在y轴方向的距离差，即纵坐标之差的绝对值：
Δ
𝑦
=
∣
𝑦
2
−
𝑦
1
∣
Δy=∣y
2
​
−y
1
​
∣。
接下来，利用勾股定理来计算线段AB的长度。勾股定理指出，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。在这里，
Δ
𝑥
Δx和
Δ
𝑦
Δy可以看作是直角三角形的两条直角边，线段AB的长度即为斜边。
根据勾股定理，线段AB的长度的平方等于
Δ
𝑥
Δx的平方与
Δ
𝑦
Δy的平方的和，即：
𝐴
𝐵
2
=
Δ
𝑥
2
+
Δ
𝑦
2
AB
2
=Δx
2
+Δy
2
最后，将
Δ
𝑥
Δx和
𝐷
𝑒
𝑙
𝑡
𝑎
𝑦
Deltay代入上述公式，并开平方根，得到线段AB的长度：
𝐴
𝐵
=
Δ
𝑥
2
+
Δ
𝑦
2
AB=
Δx
2
+Δy
2
​
𝐴
𝐵
=
(
𝑥
2
−
𝑥
1
)
2
+
(
𝑦
2
−
𝑦
1
)
2
AB=
(x
2
​
−x
1
​
)
2
+(y
2
​
−y
1
​
)
2
​
这就是利用坐标求线段长的公式。
例如，如果点A的坐标为
(
1
,
2
)
(1,2)，点B的坐标为
(
4
,
6
)
(4,6)，那么线段AB的长度可以通过以下计算得出：
Δ
𝑥
=
∣
4
−
1
∣
=
3
Δx=∣4−1∣=3
Δ
𝑦
=
∣
6
−
2
∣
=
4
Δy=∣6−2∣=4
𝐴
𝐵
=
3
2
+
4
2
=
9
+
16
=
25
=
5
AB=
3
2
+4
2
​
=
9+16
​
=
25
​
=5
因此，线段AB的长度为5个单位。
总结来说，利用坐标求线段长的公式是一种简便的方法，它通过计算两点在x轴和y轴方向的距离差，然后应用勾股定理来求解线段的长度。这种方法在平面几何问题中非常实用，尤其是在处理与坐标系相关的问题时。