一道简单的一元多项式问题

Question

已知f(x)以x-a除之余b,以x-b除之余a，以x-2除之余3,而a,b是x^2-5x-5=0的2个根～求f(x)以（x-2)(x-a)(x-b)除之的余式

Answer 1

韦达定理：ax^2+bx+c=0 (a≠0) 两根之和-b/a ；两根之积c/a
则 x^2-5x-5=0 a+b=5 ; a*b=-5
余式定理：当一个多项式 f(x) 除以 x – a 时, 所得的 余数等于 f(a).
所以 f（a）=b； f（b）=a； f（2）=3；
设 f(x)=q(x)(x-2)(x-a)(x-b)+(mx+n) 即 f(x) 用(x-2)(x-a)(x-b)除的余数为mx+n
将f（a）=b； f（b）=a； f（2）=3 代入得到：
ma+n=b; mb+n=a; 2m+n=3; 又a+b=5 ; a*b=-5
解得 m= -1； n=5；
所以f(x) 用(x-2)(x-a)(x-b)除的余数为5-x；
希望对你有所帮助