线性代数余子式怎么计算

Question

如题所述

Answer 1

线性代数中，计算余子式是一个基本的操作，它涉及到行列式的性质和运算法则。以下是对该过程的详细说明：
1. 首先，要确定所要计算的余子式对应的位置。这指的是在行列式中你想要找到的特定元素a所在的行和列。假设元素a位于第i行第j列。
2. 接下来，你需要划去包含元素a的行和列。这意味着从行列式中移除第i行和第j列的所有元素。
3. 然后，计算去掉的行和列所剩下的n-1阶行列式。这涉及到只使用除了被划去的i行和j列之外的所有元素来构成一个新的行列式，并计算它的值。
4. 根据元素a的位置，确定其余子式的符号。如果行和列的索引之和是偶数，则余子式的符号为正；如果是奇数，则符号为负。
5. 最后，将计算出的n-1阶行列式的值乘以余子式的符号，这样就得到了元素a的余子式的值。
余子式和代数余子式的概念是相关的，但有所区别。在n阶行列式中，元素a的余子式记为Mij，是通过划去第i行和第j列得到的n-1阶行列式。而元素a的代数余子式Aij则是通过将余子式的值乘以(-1)^(i+j)得到的。
余子式的一些重要性质包括：
- 任意一行（或列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和等于该行列式的值。
- 任意一行（或列）的所有元素与其对应的余子式的乘积之和等于0。
- 代数余子式与余子式之间的关系为：Aij=(-1)^(i+j)Mij。
- 对角线元素的乘积等于其行列式的值。
- 若行列式中有两行（或两列）的对应元素成比例，则该行列式等于0。
- 若行列式中有一行（或一列）的所有元素都为0，则该行列式等于0。
- 若行列式中有一行（或一列）的所有元素都可以提取公因子k，则该行列式的值等于k乘以去掉该行（或列）后得到的陪集n-1阶行列式的值。