怎样求函数sin的n阶导数？

Question

如题所述

Answer 1

为了确定y = sin(x)的n阶导数，我们可以使用三角函数及其导数的概念。
sin(x)的导数可以通过链式法则得到。该过程遵循基于正弦和余弦函数性质的模式。
我们把y = sin(x)的n阶导数写成dy^n/dx^n。
1. 当n = 1时，sin(x)的一阶导数为dy/dx = cos(x)
2. 当n = 2时，sin(x)的二阶导数可以通过对cos(x)求导得到，即d^2y/dx^2 = -sin(x)
3.当n = 3时，对- sinx求导，得到三阶导数d^3y/dx^3 = -cos(x)
4. 继续这个过程，我们观察到n阶导数在sin(x)和-cos(x)之间交替，这取决于n是奇数还是偶数。
根据上述模式，我们可以确定y = sin(x)的n阶导数为:
1. 如果n是偶数，则n阶导数为d^n y/dx^n = (-1)^(n/2) * cos(x)其中(-1)^(n/2)表示(-1)的n/2次方。
2. 如果n是奇数，n阶导数是d^n y/dx^n = (-1)^(n-1)/2) * sin(x)
这个方法允许我们确定任意n的正整数y = sin(x)的n阶导数。
注意，推导公式假设x的单位是弧度。如果x的单位是度，在应用这些公式之前，我们需要把它转换成弧度。