正态分布的线性组合公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

正态分布的线性组合公式是指当多个正态分布的随机变量经过线性组合后，其结果仍然服从正态分布。
假设有两个正态分布的随机变量X和Y，其均值分别为μX和μY，标准差分别为σX和σY。定义一个新的随机变量Z，通过线性组合X和Y得到：
Z = aX + bY
其中，a和b为常数。如果aX和bY两个随机变量的线性组合满足以下条件：
1. aX和bY是独立的（即X和Y之间没有相关性）；
2. aX和bY的方差有限（即σX和σY有限）；
那么，Z将服从一个新的正态分布，其均值和方差可以通过以下公式计算：
E(Z) = aE(X) + bE(Y) = aμX + bμY
Var(Z) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) = a^2σX^2 + b^2σY^2
注意，这个公式适用于任意数量的正态分布的线性组合，不仅限于两个变量。
这个线性组合公式在统计学和概率论中经常被使用，用于描述多个正态分布变量的组合结果的分布特性。