怎么用物理方法证明椭圆的曲率半径

Question

如题所述

Answer 1

由于物体做平抛，其加速度方向向下，可分解为法向加速度和切向加速度，其法向加速度为：an=v=gcosθ2在分析物体曲线运动时，常将曲线上任一点看成是圆周上的一点，对应圆周的半径又称为曲率半径，作曲线运动的法向加速度即为：an=v2④其中ρ即为曲线在该点的曲率半径322则由①、②、③、④可得P(x,y)点的曲率半径为：32323222ρ=(1+y')曲率半径可通过高等数学的公式：进行计ρ=v=v=(v+2gy)=(1+4ay)=(1+4ax)00232算，下面对几种常见曲线采用物理方法讨论计算其曲率半径.22.122椭圆x2+y2=1（a>b>0）的曲率半径ab利用天体知识计算椭圆的曲率半径设质量为m的行星在万有引力作用下绕质量为M的1抛物线y=ax2的曲率半径设一质点从坐标原点以速度v0沿水平轴x抛出，则由平抛的知识有：太阳作椭圆运动，根据开普勒定律知太阳位于椭圆的焦点上.x=v0t軆，在椭圆上任取一点P(x,y)，设行星在该点的速度为v则y=1gt22其轨迹为：y=gx=ax2由机械能守恒可得：1mv2-GMm=-GMm①①其中a=g0軆是P点的切线设M’点为椭圆的另一焦点，因为速度v軆n与切线方向垂直，方向，法向加速度a根据椭圆的性质有：β=arctancy②在轨迹上任取一点P(x,y)，则在该点的速度和其方向分别为：v=姨0θ=arctan0②其中2c为椭圆的焦距，其大小为：③c=姨-7-③

Answer 2

众所周知，平抛运动的轨迹是一条抛物线，于是可以从这个角度展开，把问题转化为一个物理问题，即求平抛运动轨迹的曲率半径。
在水平方向是匀速直线运动；
x=vt
在竖直方向是匀加速直线运动；
y=[1/2]gt2
得到；
y=[1/2]gt2=[1/2]g[x/v]2=[g/2v2]x2
在任意时刻，重力的沿运动轨迹法向的分量提供向心力，对于任意曲线运动，向心力等于mv'2/p，其中p为曲率半径。
mgcosa=mv'2/p
cosa=v/v'
因此p=v'3/gv
=[√[v2+g2t2]]3/gv
=[√[v2+g2x2/v2]]3/gv
=[√[v4+g2x2]]3/gv4
对于一个一般的抛物线表达式y=kx2
k=g/2v2,g=2kv2
所以p=v'3/gv
=[√[1+4k2x2]]3/2k