AB=BA的充要条件是A,B都为对称矩阵。
证明:若A,B都为对称矩阵。则:
(AB)T=BTAT=BA
因为AB是对称矩阵,所以(AB)T=AB
所以AB=BA
反之,若AB=BA
则(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
故A=AT,B=BT
两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
基本性质:
1、对于任何方形矩阵X,X+XT是对称矩阵。
2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3、对角矩阵都是对称矩阵。
4、两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。