积化和差公式是什么，怎么推导出来的

如题所述

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推荐答案 2019-11-09

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积以及积化和差公式的推导非常简单。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这种最基本的三角函数展开公式，就能轻松掌握8个公式的推导

首先、下面这几个都是高中的内容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ④

我们看积化和差公式，我们要找的积是

sinαcosβ、sinαsinβ这种。

看①②两个式子，sinαcosβ当作x cosαsinβ当作y。那么①②两个式子就相当于一个方程组了，那么很容易就能解出sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 ③ ④也是

于是得到积化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

扩展资料：

得到积化和差的公式后，只要在做一个小的变换就能得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

则，α=(a+b)/2 β=(a-b)/2

积化和差公式改写为

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

就得到了我们的积化和差公式。

参考资料：百度百科-积化和差

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第1个回答 2019-11-09

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

推导过程：

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

把两式相加得到：sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

所以，sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

同理，把两式相减，得到：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

把两式相加，得到：cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

所以，cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

同理，两式相减，得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

扩展资料：

和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

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第2个回答 2023-07-17

积化和差公式是一组对于三角函数乘积与差的关系的公式。推导这些公式可以使用三角函数的和差化积公式。

1. 积化和公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
推导过程：
根据三角函数的和差化积公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
把B设为-(-B)，然后将上述两个公式中的B替换为-(-B)，得到：
sin(A - (-B)) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A - (-B)) = cosAcos(-B) - sinAsin(-B) = cosAcosB + sinAsinB
此即为积化和公式。

2. 差化和公式：
sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
推导过程：
根据三角函数的和差化积公式：
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
把B设为-(-B)，然后将上述两个公式中的B替换为-(-B)，得到：
sin(A + (-B)) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(A + (-B)) = cosAcos(-B) - sinAsin(-B) = cosAcosB + sinAsinB
此即为差化和公式。

这些公式在三角函数运算中经常使用，可以方便地将三角函数的乘积或差表示为和的形式，从而简化计算和推导。