已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图：直线y=0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区

Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图：直线y=0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为274，求f（x）．

Answer 1

由图可以看出f（0）=0，
代入f（x）=x³+ax²+bx+c，得c=0．
故方程可以化简为：f（x）=x³+ax²+bx
对方程求导，得：f′（x）=3x²+2ax+b．
由题意直线y=0在原点处与函数图象相切故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以继续化简为：f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（-a，0）
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即
∫₀^-af（x）dx=

27

4

，
将 f（x）=x³+ax²代入得
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=

27

4

求解，得a=-3．
故f（x）=x³-3x²