低阶无穷小和无穷大的关系

Question

如题所述

Answer 1

低阶无穷小（Low order infinitesimal）是以数零为极限的变量，属于高等数学学科。无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x-1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n 是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
中文名
低阶无穷小
外文名
Low order infinitesimal
定义
以数零为极限的变量
区分
无穷小量
一级学科
数学
定义无穷小的比较TA说参考资料
定义
首先介绍无穷小量的概念。
初学者应当注意的是，无穷小量是极限为0的变量而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如
在
时是无穷小量，而不能笼统说
是无穷小量。也不能说无穷小是
，
是指负无穷大。
设f在某x0的空心邻域有定义。
对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数
（或正数
）使得不等式
（或
）的一切
对应的函数值
都满足不等式
，则称函数
为当
（或
）时的无穷小量。记做：
（或
）。[1]
若
，则称“β 是比 α 较低阶的无穷小”。意思是在某一过程中，β→0 比 α→0 慢一些。
例如，因为
所以 x→∞ 时，1/2x 是比 1/3x2 较低阶的无穷小。意思是在x→∞ 的过程中，1/2x→0 比1/3x2→0 的速度慢。[2]
无穷小的比较
观察无穷小比值的极限：
两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度。在x→0 的过程中，x2→0 比 3x→0 “快些”，反过来 3x→0 比 x2→0 “慢些”，而 sin x→0 与 x→0 “快慢相仿”。
为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，给出下面的比较定义。
定义，设 α 及 β 都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。
如果
，就说β是比α高阶的无穷小，记为
；
如果
，就说β是比α 低阶的无穷小；
如果
，就说β与α 是同阶无穷小；
如果
，就说β是关于 α 的k阶无穷小；
如果
，就说β与α 是等价无穷小，记为 β~α。[3]

Answer 2

低阶无穷小和无穷大的关系
无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a是f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小。无穷大为数无穷大的倒数等于无穷小，无穷小的倒数（当其不du等于0时，因为此时倒数才有意义，而无穷小量是可能取0的）是无穷大量。无穷小和无穷大是从极限的角度考虑，指在n→某个点时，数列或函数取值大小，无穷小即趋于0，无穷大即趋于无穷。

Answer 3

无穷小是可以忽略不计，无穷大是大到不能再大。它们的关系是从一个极端走向另一个极端。