椭圆焦点三角形的面积公式如何推导?

Question

如题所述

Answer 1

椭圆焦点三角形面积公式的推导过程如下：

焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ PF1=m PF2=n。

m+n=2a。

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 。

mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2。

mn=2b^2/(1+cosθ) 。

S=(mnsinθ)/2。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P（不与焦点共线）为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为：

（1）|PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周长=2a+2c。

（4）面积=S=b²·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）。