奇函数与偶函数与泰勒公式的关系

Question

奇函数泰勒公式展开后只有奇数次幂，偶函数泰勒公式展开后只有偶数次幂，是不是可以认为，如果一个函数用泰勒公式展开后，同时有奇数和偶数次幂的项存在，那么这个函数一定是非奇非偶函数

Answer 1

因为x是偶数次方，是偶函数：x的奇数次方是奇函数。

既然tanx是奇函数，那么分解后，就只能含奇函数的部分，不能含偶函数的部分。所以任何x的偶数次方项的系数都必须是0才行。

假设f(x)=a0+a1x+a2x²+....

f(-x)=a0-a1x+a2x²+...

两式相加，并利用奇函数f(x)+f(-x)=0的性质，得;

0=2(a0+a2x²+....)

此式恒成立，因此各系数都得是0，

即a0=a2=a4=....=0

性质

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

以上内容参考：百度百科-奇函数

Answer 2

因为x是偶数次方，是偶函数：x的奇数次方是奇函数。
既然tanx是奇函数，那么分解后，就只能含奇函数的部分，不能含偶函数的部分。所以任何x的偶数次方项的系数都必须是0才行。
理由是：几个相加减的函数都不是非奇非偶函数的话
几个奇函数相加减，仍然是奇函数
几个偶函数相加减，仍然是偶函数
几个相加减的函数中，既有奇函数，也有偶函数，则相加减后的是非奇非偶函数。本回答被网友采纳

Answer 3

奇函数在对称区间上积分为零，偶函数在对称区间上积分等于它在整个区间的一半上积分的2倍。
比如，对于y=x^3,它为奇函数，对于任何一个以原点对称的区间（-a，a）(a>0)上积分为零；而y=cosx为偶函数，它在任意对称区间（-a，a）(a>0)上积分就等于（0，a）上积分的2倍。
因为在（-a，0）和（0，a）这两个区间上积分相等。当然，这里所说的一切，前提都是被积函数是可积的。

Answer 4

你说的是对的