已知A ,B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA是可逆矩阵。

如题所述

第1个回答推荐于2017-10-08

只要找出一个非零解满足（E-AB）Y = 0，就可以说明与题设矛盾，
假设E-BA不可逆，则（E-BA）X = 0 有非零解，则可得 X=BAX。
又（E-AB）AX = AX - ABAX = AX-AX = 0，即AX为（E-AB）Y = 0的一个非零解，由此可证

也有人是这么解得，（好强大的说）
因为E-AB可逆，则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E，
左乘B右乘A，有BCA-BCABA=BA
有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E，根所定义知E-BA可逆追问

能帮我也解决下这个问题么，谢谢了！

本回答被提问者采纳

相似回答

设A、B为n阶方阵,正为n阶单位矩阵,证明: 若E-AB可逆,则E-BA也可逆。答：【答案】：由于E-AB可逆，所以存在n阶可逆矩阵C，使C(E-AB)=(E-AB)C=E，CAB=ABC=C-E，得到 B(ABC)A=B(C-E)A，E+DCA-BA-BABCA=E，等号左边合并，得到(E-BA)(E+DCA)=E，故 E-BA可逆，且(E-BA)-1=E+BCA。[思路点拨] 方法1：反证法，假设A可逆，再通过在已知矩阵关系式两边...

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆答：反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0 也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题设矛盾，所以E-BA可逆，但这种证法不能求其逆的具体表示

线性代数考研:A、B 是n阶矩阵,E-AB可逆,证E-BA可逆。答：E, A; B, E]，再将第一行块左乘-B加到第2行块得到[E, A; 0, E-BA]。该过程用矩阵乘积表示即 [E, 0; B, E][E, A; 0, E][E-AB, 0; B, E]=[E, A; 0, E-BA]。两边同取行列式即得 det(E-AB)=det(E-BA)。因此E-AB可逆，则E-BA可逆。

设A,B均为n阶矩阵,E-AB可逆,证明E-BA可逆。谢谢答：反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0 也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题设矛盾，所以E-BA可逆

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆答：你好！你说的对，α≠0不能得出Aα≠0，这个证法不对。下图是正确的做法，结论也更一般。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

大家正在搜

设n阶矩阵A与s阶矩阵B都可逆 A是m阶矩阵B是n阶矩阵 ab都是n阶非零矩阵且AB=0 若A和B为n阶矩阵且A和B相似 A和B都是n阶正定矩阵设AB均为n阶可逆矩阵设AB都是三阶矩阵已知三阶矩阵A与B相似 AB同阶可逆矩阵