△ABC中，∠C=45°，D是AC上一点，且AD:CD=2:1，∠ADB=60°，⊙O是△BCD的外接圆。

Question

求证：AB切⊙O于B。

Answer 1

证明：

连接BO并延长，交⊙O于E，连接OD交BC于F，连接OC、CE。

∵BE是⊙O的直径

∴∠BCE=90°

∵∠E=∠ADB=60°（圆内接四边形外角等于内对角）

∴∠OBC=30°

∵OB=OC

∴∠OCB=∠OBC=30°

∵∠BOD=2∠BCD=90°（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角）

∴BF=2OF（30°角所对的直角边等于斜边的一半）

∵∠BFO=60°

∴∠FCO=∠FOC=30°

∴OF=CF

∴BF=2CF

∴BF∶CF=AD∶CD=2∶1

∴BC∶CF=AC∶CD=3∶1

又∵∠ACB=∠DCF

∴△ACB∽△DCF（SAS）

∴∠ABC=∠DFC

∴AB//DO

∴∠ABO=∠BOD=90°

∴AB是切⊙O于B

本回答被提问者采纳