怎么证明根3不是有理数？

Question

如题所述

Answer 1

证明:
设根3=p/q,即有理数,且(p,q)=1
3=p^2/q^2
所以p是3的倍数
设p=3k
3=9k^2/q^2
3q^2=9k^2
所以
q^2=3k^2
所以q也是3的倍数.

与(q,p)=1违反,所以根3是无理数.
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不过我想知道,怎么用证明的办法证根4是有理数.

Answer 2

用反证法
设根号3为有理数
那么它可以表示为m/n的形式（m与n互质）
根号3＝m/n
3=(m^2)/(n^2)
m^2=3(n^2)
因为m与n互质，所以它们的平方也应该互质，但是m^2=3(n^2)说明（m^2）和（n^2）可以约分，与前面矛盾，所以根号3为有理数不成立，所以根号3不是有理数

Answer 3

假设根号3是有理数，不妨设其等于p/q，且p,q互质,都为整数，
则
根号3=p/q，即p=q*根号3,即p的平方=3*（q的平方）
显然，p能被3整除，即设p=3k,k为整数
带入p的平方=3*（q的平方）
得
q的平方=3*（k的平方），如上推断可知，q也是3的倍数，即p,q至少还有公因子3，与p,q互质矛盾

回3楼：根号4=2，2是有理数

Answer 4

假设根号3是有理数，不妨设其等于p/q，且p,q互质,都为整数，
则
根号3=p/q，即p=q*根号3,即p的平方=3*（q的平方）
显然，p能被3整除，即设p=3k,k为整数
带入p的平方=3*（q的平方）
得
q的平方=3*（k的平方），如上推断可知，q也是3的倍数，即p,q至少还有公因子3，与p,q互质矛盾

Answer 5

我这么看，有理数开根号可以开出来
根3无法开出来，就不是有理数……