中央民族大学出版社智取暑假生活数学八年级, 悬赏分20

Question

在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,点P为BC边上一点，PE垂直AB,PF垂直CD，BG垂直CD，垂足分别为E,F,G.求证；PE+PF=BG.

Answer 1

证明：

过P点作PM垂直于BG

四边形MPFG为矩形 PF=MG

则有PM//DC

∠MPB=∠DCB

因为ABCD是等腰梯形

所以∠ABC=∠DCB=∠MPB

在三角形EBP和三角形MBP中

BP=BP ∠BEP=∠PMB=90

∠ABC=∠MPB

所以这两个三角形全等

所以PE=BM

所以PE+PF=BM+MG=BG

Answer 2

从P点向BP作垂线交BP于H，则PHGF为矩形，所以HG=PF
又在BPE和BPH中，BP为公共边，角PBE=角BPH，这两个三角形又是rt三角形
根据角-边-角相等，两三角形全等，所以PE=BH
所以PF+PE=GH+HB=BG，即为所证

Answer 3

最简单的"截长补短"问题了
过P作PM垂直BG于M。因为三个垂直所以PFGM为矩形，所以MG = PF ,PM//FG
易证角EBP=角DCB=角MPB，又因为角BEP=角BMP=90度，BP=BP，可得△BEP全等于△BMP。所以PE=BM.则BG=BM+MG=PE+PF