å å¼å解ï¼factorizationï¼
å å¼å解æ¯ä¸å¦æ°å¦ä¸æéè¦çæçåå½¢ä¹ä¸ï¼å®è¢«å¹¿æ³å°åºç¨äºåçæ°å¦ä¹ä¸ï¼æ¯æ们解å³è®¸å¤æ°å¦é®é¢çæåå·¥å
·ï¼å å¼å解æ¹æ³çµæ´»ï¼æå·§æ§å¼ºï¼å¦ä¹ è¿äºæ¹æ³ä¸æå·§ï¼ä¸ä»
æ¯ææ¡å å¼å解å
容æå¿
éçï¼èä¸å¯¹äºå¹å
»å¦çç解é¢æè½ï¼åå±å¦ççæç»´è½åï¼é½æçååç¬ç¹çä½ç¨ï¼åä¸æ°å¦ææä¸ä¸»è¦ä»ç»äºæåå
¬å å¼æ³ãè¿ç¨å
¬å¼æ³ãåç»å解æ³åååç¸ä¹æ³ï¼èå¨ç«èµä¸ï¼åææ项å添项æ³ï¼å¾
å®ç³»æ°æ³ï¼åååç¸ä¹æ³ï¼è½®æ¢å¯¹ç§°æ³çï¼
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¬å å¼æ³
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¬å å¼ï¼å项é½å«æçå
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±çå å¼å«åè¿ä¸ªå¤é¡¹å¼å项çï½.
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¬å å¼æ³ï¼ä¸è¬å°ï¼å¦æå¤é¡¹å¼çå项æå
¬å å¼ï¼å¯ä»¥æè¿ä¸ªå
¬å å¼æå°æ¬å·å¤é¢ï¼å°å¤é¡¹å¼åæå å¼ä¹ç§¯çå½¢å¼ï¼è¿ç§å解å å¼çæ¹æ³å«åæå
¬å å¼æ³.
amï¼bmï¼cmï¼mï¼a+b+cï¼
â¢å
·ä½æ¹æ³ï¼å½å项系æ°é½æ¯æ´æ°æ¶ï¼å
¬å å¼çç³»æ°åºåå项系æ°çæ大å
¬çº¦æ°ï¼åæ¯åå项çç¸åçåæ¯ï¼èä¸ååæ¯çææ°å次æ°æä½ç. å¦æå¤é¡¹å¼ç第ä¸é¡¹æ¯è´çï¼ä¸è¬è¦æåºâï¼âå·ï¼ä½¿æ¬å·å
ç第ä¸é¡¹çç³»æ°æ¯æ£ç.
âµè¿ç¨å
¬å¼æ³
â å¹³æ¹å·®å
¬å¼ï¼. a^2ï¼b^2ï¼(aï¼b)(aï¼b)
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¬å¼ï¼ a^2±2abï¼b^2ï¼(a±b)^2
â»è½è¿ç¨å®å
¨å¹³æ¹å
¬å¼å解å å¼çå¤é¡¹å¼å¿
é¡»æ¯ä¸é¡¹å¼,å
¶ä¸æ两项è½åæ两个æ°(æå¼)çå¹³æ¹åçå½¢å¼ï¼å¦ä¸é¡¹æ¯è¿ä¸¤ä¸ªæ°(æå¼)ç积ç2å.
â¢ç«æ¹åå
¬å¼ï¼a^3+b^3ï¼ (a+b)(a^2-ab+b^2).
ç«æ¹å·®å
¬å¼ï¼a^3-b^3ï¼ (a-b)(a^2+ab+b^2).
â£å®å
¨ç«æ¹å
¬å¼ï¼ a^3±3a^2bï¼3ab^2±b^3ï¼(a±b)^3
â¤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+â¦â¦+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+â¦â¦-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为å¥æ°)
â¶åç»å解æ³
åç»å解æ³ï¼æä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼åç»åï¼åè¿è¡å解å å¼çæ¹æ³.
åç»å解æ³å¿
é¡»ææç¡®ç®çï¼å³åç»åï¼å¯ä»¥ç´æ¥æå
¬å å¼æè¿ç¨å
¬å¼.
â·æ项ã补项æ³
æ项ã补项æ³ï¼æå¤é¡¹å¼çæä¸é¡¹æå¼æå¡«è¡¥ä¸äºä¸ºç¸åæ°ç两项ï¼æå 项ï¼ï¼ä½¿åå¼éåäºæå
¬å å¼æ³ãè¿ç¨å
¬å¼æ³æåç»å解æ³è¿è¡å解ï¼è¦æ³¨æï¼å¿
é¡»å¨ä¸åå¤é¡¹å¼ç¸ççååè¿è¡åå½¢.
â¸ååç¸ä¹æ³
â x^2ï¼ï¼p qï¼xï¼pqåçå¼åçå å¼å解
è¿ç±»äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼çç¹ç¹æ¯ï¼äºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1ï¼å¸¸æ°é¡¹æ¯ä¸¤ä¸ªæ°ç积ï¼ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯å¸¸æ°é¡¹ç两个å æ°çå.å æ¤ï¼å¯ä»¥ç´æ¥å°æäºäºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼åè§£ï¼ x^2ï¼ï¼p qï¼xï¼pqï¼ï¼xï¼pï¼ï¼xï¼qï¼
â¡kx^2ï¼mxï¼nåçå¼åçå å¼å解
å¦æè½å¤å解ækï¼acï¼nï¼bdï¼ä¸æadï¼bcï¼m æ¶ï¼é£ä¹
kx^2ï¼mxï¼nï¼ï¼ax bï¼ï¼cx dï¼
a \-----/b acï¼k bdï¼n
c /-----\d adï¼bcï¼m
â» å¤é¡¹å¼å å¼å解çä¸è¬æ¥éª¤ï¼
â å¦æå¤é¡¹å¼çå项æå
¬å å¼ï¼é£ä¹å
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¬å å¼ï¼
â¡å¦æå项没æå
¬å å¼ï¼é£ä¹å¯å°è¯è¿ç¨å
¬å¼ãååç¸ä¹æ³æ¥å解ï¼
â¢å¦æç¨ä¸è¿°æ¹æ³ä¸è½å解ï¼é£ä¹å¯ä»¥å°è¯ç¨åç»ãæ项ã补项æ³æ¥å解ï¼
â£å解å å¼ï¼å¿
é¡»è¿è¡å°æ¯ä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼å å¼é½ä¸è½åå解为æ¢.
(6)åºç¨å å¼å®çï¼å¦æfï¼aï¼=0ï¼åfï¼xï¼å¿
å«æå å¼ï¼x-aï¼ãå¦fï¼xï¼=x^2+5x+6ï¼fï¼-2ï¼=0ï¼åå¯ç¡®å®ï¼x+2ï¼æ¯x^2+5x+6çä¸ä¸ªå å¼ã
ç»å
¸ä¾é¢ï¼
1.å解å å¼(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解ï¼åå¼=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.è¯æï¼å¯¹äºä»»ä½æ°x,yï¼ä¸å¼çå¼é½ä¸ä¼ä¸º33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解ï¼åå¼=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
å½y=0æ¶ï¼åå¼=x^5ä¸çäº33ï¼å½yä¸çäº0æ¶ï¼x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2yäºä¸ç¸åï¼è33ä¸è½åæå个以ä¸ä¸åå æ°ç积ï¼æ以åå½é¢æç«
å å¼å解çåäºç§æ¹æ³
æä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼åæå 个æ´å¼ç积çå½¢å¼ï¼è¿ç§åå½¢å«åæè¿ä¸ªå¤é¡¹å¼å å¼å解ãå å¼å解çæ¹æ³å¤ç§å¤æ ·ï¼ç°æ»ç»å¦ä¸ï¼
1ã æå
¬å æ³
å¦æä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼çå项é½å«æå
¬å å¼ï¼é£ä¹å°±å¯ä»¥æè¿ä¸ªå
¬å å¼æåºæ¥ï¼ä»èå°å¤é¡¹å¼åæ两个å å¼ä¹ç§¯çå½¢å¼ã
ä¾1ã å解å å¼x -2x -x(2003æ·®å®å¸ä¸èé¢)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2ã åºç¨å
¬å¼æ³
ç±äºå解å å¼ä¸æ´å¼ä¹æ³æçäºéçå
³ç³»ï¼å¦ææä¹æ³å
¬å¼åè¿æ¥ï¼é£ä¹å°±å¯ä»¥ç¨æ¥ææäºå¤é¡¹å¼å解å å¼ã
ä¾2ãå解å å¼a +4ab+4b (2003åéå¸ä¸èé¢)
解ï¼a +4ab+4b =ï¼a+2bï¼
3ã åç»å解æ³
è¦æå¤é¡¹å¼am+an+bm+bnå解å å¼ï¼å¯ä»¥å
æå®å两项åæä¸ç»ï¼å¹¶æåºå
¬å å¼aï¼æå®å两项åæä¸ç»ï¼å¹¶æåºå
¬å å¼bï¼ä»èå¾å°a(m+n)+b(m+n),åå¯ä»¥æåºå
¬å å¼m+nï¼ä»èå¾å°(a+b)(m+n)
ä¾3ãå解å å¼m +5n-mn-5m
解ï¼m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4ã ååç¸ä¹æ³
对äºmx +px+qå½¢å¼çå¤é¡¹å¼ï¼å¦æaÃb=m,cÃd=qä¸ac+bd=pï¼åå¤é¡¹å¼å¯å å¼å解为(ax+d)(bx+c)
ä¾4ãå解å å¼7x -19x-6
åæï¼ 1 -3
7 2
2-21=-19
解ï¼7x -19x-6=ï¼7x+2ï¼(x-3)
5ãé
æ¹æ³
对äºé£äºä¸è½å©ç¨å
¬å¼æ³çå¤é¡¹å¼ï¼æçå¯ä»¥å©ç¨å°å
¶é
æä¸ä¸ªå®å
¨å¹³æ¹å¼ï¼ç¶ååå©ç¨å¹³æ¹å·®å
¬å¼ï¼å°±è½å°å
¶å å¼å解ã
ä¾5ãå解å å¼x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6ãæã添项æ³
å¯ä»¥æå¤é¡¹å¼ææè¥å¹²é¨åï¼åç¨è¿è¡å å¼å解ã
ä¾6ãå解å å¼bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解ï¼bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7ã æ¢å
æ³
ææ¶å¨å解å å¼æ¶ï¼å¯ä»¥éæ©å¤é¡¹å¼ä¸çç¸åçé¨åæ¢æå¦ä¸ä¸ªæªç¥æ°ï¼ç¶åè¿è¡å å¼å解ï¼æåå转æ¢åæ¥ã
ä¾7ãå解å å¼2x -x -6x -x+2
解ï¼2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8ã æ±æ ¹æ³
令å¤é¡¹å¼f(x)=0,æ±åºå
¶æ ¹ä¸ºx ,x ,x ,â¦â¦x ,åå¤é¡¹å¼å¯å å¼å解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )â¦â¦(x-x )
ä¾8ãå解å å¼2x +7x -2x -13x+6
解ï¼ä»¤f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
éè¿ç»¼åé¤æ³å¯ç¥ï¼f(x)=0æ ¹ä¸º ï¼-3ï¼-2ï¼1
å2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9ã å¾åæ³
令y=f(x)ï¼ååºå½æ°y=f(x)çå¾åï¼æ¾å°å½æ°å¾åä¸Xè½´ç交ç¹x ,x ,x ,â¦â¦x ï¼åå¤é¡¹å¼å¯å å¼å解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )â¦â¦(x-x )
ä¾9ãå å¼å解x +2x -5x-6
解ï¼ä»¤y= x +2x -5x-6
ä½åºå
¶å¾åï¼è§å³å¾ï¼ä¸x轴交ç¹ä¸º-3ï¼-1ï¼2
åx +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10ã 主å
æ³
å
éå®ä¸ä¸ªåæ¯ä¸ºä¸»å
ï¼ç¶åæå项æè¿ä¸ªåæ¯æ¬¡æ°ä»é«å°ä½æåï¼åè¿è¡å å¼å解ã
ä¾10ãå解å å¼a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
åæï¼æ¤é¢å¯éå®a为主å
ï¼å°å
¶æ次æ°ä»é«å°ä½æå
解ï¼a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11ã å©ç¨ç¹æ®å¼æ³
å°2æ10代å
¥xï¼æ±åºæ°Pï¼å°æ°På解质å æ°ï¼å°è´¨å æ°éå½çç»åï¼å¹¶å°ç»ååçæ¯ä¸ä¸ªå æ°åæ2æ10çåä¸å·®çå½¢å¼ï¼å°2æ10è¿åæxï¼å³å¾å å¼å解å¼ã
ä¾11ãå解å å¼x +9x +23x+15
解ï¼ä»¤x=2ï¼åx +9x +23x+15=8+36+46+15=105
å°105å解æ3个质å æ°ç积ï¼å³105=3Ã5Ã7
注æå°å¤é¡¹å¼ä¸æé«é¡¹çç³»æ°ä¸º1ï¼è3ã5ã7åå«ä¸ºx+1ï¼x+3ï¼x+5ï¼å¨x=2æ¶çå¼
åx +9x +23x+15=ï¼x+1ï¼ï¼x+3ï¼ï¼x+5ï¼
12ãå¾
å®ç³»æ°æ³
é¦å
å¤æåºå解å å¼çå½¢å¼ï¼ç¶å设åºç¸åºæ´å¼çåæ¯ç³»æ°ï¼æ±åºåæ¯ç³»æ°ï¼ä»èæå¤é¡¹å¼å å¼å解ã
ä¾12ãå解å å¼x -x -5x -6x-4
åæï¼æç¥è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼æ²¡æä¸æ¬¡å å¼ï¼å èåªè½å解为两个äºæ¬¡å å¼ã
解ï¼è®¾x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
æ以 解å¾
åx -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
åå¦å å¼å解çâå个注æâ
å å¼å解åè§äºä¹å¹´ä¹å¡æè²ä¸å¹´å¶åä¸ææã代æ°ã第äºåï¼å¨åäºä¸å¦æ讲æï¼ä½å®çå
容å´æ¸éäºæ´ä¸ªä¸å¦æ°å¦ææä¹ä¸ãå¦ä¹ å®ï¼æ¢å¯ä»¥å¤ä¹ åä¸çæ´å¼ååè¿ç®ï¼å为æ¬åä¸ä¸ç« åå¼æ好åºç¡ï¼å¦å¥½å®ï¼æ¢å¯ä»¥å¹å
»å¦ççè§å¯ã注æãè¿ç®è½åï¼åå¯ä»¥æé«å¦ç综ååæå解å³é®é¢çè½åãå
¶ä¸å个注æï¼åå¿
é¡»å¼èµ·å¸ççé«åº¦éè§ã
å å¼å解ä¸çå个注ææ£è§äºææ第5页å第15页ï¼å¯ç¨åå¥è¯æ¦æ¬å¦ä¸ï¼é¦é¡¹æè´å¸¸æè´ï¼å项æâå
¬âå
æâå
¬âï¼æ项æåºè«æ¼1ï¼æ¬å·éé¢åå°âåºâãç°ä¸¾æ°ä¾ï¼è¯´æå¦ä¸ï¼ä¾åèã
ä¾1 æï¼a2ï¼b2ï¼2abï¼4å解å å¼ã
解ï¼ï¼a2ï¼b2ï¼2abï¼4ï¼ï¼ï¼a2ï¼2abï¼b2ï¼4ï¼ï¼ï¼ï¼aï¼bï¼2ï¼ï¼aï¼bï¼2ï¼
è¿éçâè´âï¼æâè´å·âãå¦æå¤é¡¹å¼ç第ä¸é¡¹æ¯è´çï¼ä¸è¬è¦æåºè´å·ï¼ä½¿æ¬å·å
第ä¸é¡¹ç³»æ°æ¯æ£çãé²æ¢å¦çåºç°è¯¸å¦ï¼9x2ï¼4y2ï¼ï¼ï¼3xï¼2ï¼ï¼2yï¼2ï¼ï¼ï¼3xï¼2yï¼ï¼ï¼3xï¼2yï¼ï¼ï¼3xï¼2yï¼ï¼3xï¼2yï¼çé误?�èèè�æ±åªæåç¤å¸·ä¿��å�饨�è¹æ²»è§¯?/p>
å¦ä¾2 â³abcçä¸è¾¹aãbãcæå¦ä¸å
³ç³»å¼ï¼ï¼c2ï¼a2ï¼2abï¼2bcï¼0ï¼æ±è¯è¿ä¸ªä¸è§å½¢æ¯çè
°ä¸è§å½¢ã
åæï¼æ¤é¢å®è´¨ä¸æ¯å¯¹å
³ç³»å¼ççå·å·¦è¾¹çå¤é¡¹å¼è¿è¡å å¼å解ã
è¯æï¼âµï¼c2ï¼a2ï¼2abï¼2bcï¼0ï¼â´ï¼aï¼cï¼ï¼aï¼cï¼ï¼2bï¼aï¼cï¼ï¼0ï¼â´ï¼aï¼cï¼ï¼aï¼2bï¼cï¼ï¼0ï¼
åâµaãbãcæ¯â³abcçä¸æ¡è¾¹ï¼â´aï¼2bï¼cï¼0ï¼â´aï¼cï¼0ï¼
å³aï¼cï¼â³abc为çè
°ä¸è§å½¢ã
ä¾3æï¼12x2nynï¼18xnï¼2ynï¼1ï¼6xnynï¼1å解å å¼ã解ï¼ï¼12x2nynï¼18xnï¼2ynï¼1ï¼6xnynï¼1ï¼ï¼6xnynï¼1ï¼2xnyï¼3x2y2ï¼1ï¼
è¿éçâå
¬âæâå
¬å å¼âãå¦æå¤é¡¹å¼çå项å«æå
¬å å¼ï¼é£ä¹å
æåè¿ä¸ªå
¬å å¼ï¼åè¿ä¸æ¥å解å å¼ï¼è¿éçâ1âï¼æ¯æå¤é¡¹å¼çæ个æ´é¡¹æ¯å
¬å å¼æ¶ï¼å
æåºè¿ä¸ªå
¬å å¼åï¼æ¬å·å
åå¿æ¼æ1ãé²æ¢å¦çåºç°è¯¸å¦6pï¼xï¼1ï¼3ï¼8p2ï¼xï¼1ï¼2ï¼2pï¼1ï¼xï¼2ï¼2pï¼xï¼1ï¼2ã3ï¼xï¼1ï¼ï¼4pãï¼2pï¼xï¼1ï¼2ï¼3xï¼4pï¼3ï¼çé误ã
ä¾4 å¨å®æ°èå´å
æx4ï¼5x2ï¼6å解å å¼ã
解ï¼x4ï¼5x2ï¼6ï¼ï¼x2ï¼1ï¼ï¼x2ï¼6ï¼ï¼ï¼x2ï¼1ï¼ï¼xï¼6ï¼ï¼xï¼6ï¼
è¿éçâåºâï¼æå解å å¼ï¼å¿
é¡»è¿è¡å°æ¯ä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼å å¼é½ä¸è½åå解为æ¢ãå³å解å°åºï¼ä¸è½åéèåºçææãå
¶ä¸å
å«æå
¬å å¼è¦ä¸æ¬¡æ§æâå¹²åâï¼ä¸çâ尾巴âï¼å¹¶ä½¿æ¯ä¸ä¸ªæ¬å·å
çå¤é¡¹å¼é½ä¸è½åå解ãé²æ¢å¦çåºç°è¯¸å¦4x4y2ï¼5x2y2ï¼9y2ï¼y2ï¼4x4ï¼5x2ï¼9ï¼ï¼y2ï¼x2ï¼1ï¼ï¼4x2ï¼9ï¼çé误ã
ç±æ¤çæ¥ï¼å å¼å解ä¸çå个注æ贯穿äºå å¼å解çåç§åºæ¬æ¹æ³ä¹ä¸ï¼ä¸å å¼å解çå个æ¥éª¤æ说ä¸è¬æè顺åºçåå¥è¯ï¼âå
çææ å
¬å å¼ï¼åçè½å¦å¥å
¬å¼ï¼ååç¸ä¹è¯ä¸è¯ï¼åç»å解è¦åéâæ¯ä¸èç¸æ¿çã
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