证明方程X=asinX+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超过a+b

Question

如题所述

Answer 1

应用介值定理.如果一个连续的函数f(x),[a,b]在这个函数的定义域内连续,并且f(a)与f(b)异号,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
设f（x）=asinx+b-x,f（x）在闭区间[0,a+b]上连续,f（0）=b＞0,f（a+b）=asin（a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0
分两种情况,当sin（a+b)=1时,f（a+b）=0,方程有一个正根x=a+b符合要求
sin（a+b)＜1时,f（a+b）＜0,符合介值定理条件,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b
证:令
f(x)=x-asinx-b，则函数f(x)在闭区间[0,a+b]上连续
且
f(0)
=
-b＜0，f(a+b)
=
a(1
-
sinx)≥0
当f(a+b)
=
0
，易得
x
=
a+b;
当f(a+b)＞0
，由根的存在定理，至少存在一点ζ∈（0，a+b),使得
f(ζ)
=
0
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b