在复数领域中，厄米特矩阵（Hermitian Matrix），又称埃尔米特矩阵或厄米矩阵，是一种特殊类型的矩阵，其独特的性质赋予了它们在物理和工程学中的重要地位。它的定义要求矩阵中任意元素 (i, j) 的共轭与 (j, i) 的元素相等，即 Aji = Aij*，其中星号表示共轭。
对于复向量，其长度和内积是厄米特矩阵的基础。如复向量 u = a + bi，其长度 |u| 的定义保证了非负性和齐次性，以及著名的三角不等式。正交矩阵的重要特性是其特征值模长始终为1，这是因为 ||Uv|| = ||v||，对于其特征向量 v。
共轭矩阵的行列式与原行列式的共轭相等，反映了复数在复平面上关于实轴的对称性。而实矩阵的复特征值会成对出现，一个实数特征值总是伴随着其共轭存在。比如，如果 λ 和 λ* 是矩阵的特征值，那么 A 的特征向量成对存在，且 λ* 与 λ 相对于原向量保持正交。
在矩阵运算中，共轭、逆和转置的顺序对厄米特矩阵的影响尤为显著。无论是共轭转置还是转置共轭，它们的结果都保持不变，即 (AH)* = A* 和 (A*)H = AH*。这使得厄米特矩阵的性质在运算中保持不变，例如 AAH = AHA。
进一步，我们引入了酉矩阵，这是正交矩阵在复数范围内的扩展。酉矩阵的列向量不仅正交，而且长度保持为1，这是它们被称为幺正矩阵的原因。酉矩阵的逆是其共轭转置，且它们的乘积仍保持为酉矩阵，其特征值模长始终为1，不同特征值对应的特征向量也保证了正交性。
证明厄米特矩阵的重要性质，如定理1指出其特征值必为实数，而定理2则揭示了不同特征值对应的特征向量正交。定理3，即舒尔定理的应用，说明厄米特矩阵总能通过酉矩阵对角化，这为理解矩阵的结构和行为提供了关键的数学工具。
在矩阵对角化这一概念中，厄米特矩阵的n个特征向量必然正交，且与对角化矩阵中的特征值一一对应。对于n阶厄米特矩阵，重根特征值对应特征空间的维数，这在计算和理解矩阵的性质时具有深远影响。