我来出一道数学题给大家玩玩...关于浮力原理（高分）

Question

建立一个可以描述“侵入水中的刚体与水的相互作用”的合适的力学模型，在此基础上证明阿基米德的浮力原理...
看清楚题，是要证明原理，而不是单纯的测浮力。
（连小学生都知道怎么测浮力，我总不会把200分给一个能答出小学难度的问题的人吧。）

另外，我要求的是建立合适的力学模型。换句话说，其实就是建立一个数学模型，而不是实物模型...毕竟这是数学题，你弄些个实物倒腾还叫数学题吗？

另外，我还补充些限制条件吧：

一、刚体的质量是连续分布的。
二、刚体没有分形结构。
三、要普遍原理，特殊解不算。
（所以别举立方体的例子，那只能算是特殊解。我要适用于一切不规则体的原理。）
四、回归分析不算。（那还能叫纯粹的数学模型吗？）

OK，应该明白了吧。

-----回复答案-------------

4楼：这不是教科书上的吧。如果没有更好的答案，分就给你了。呵呵~

6楼：别玩文字游戏好吗？这里的没打引号就被你揪着不放。

Answer 1

设水密度为1，则深度为h处压强为gh, g是重力加速度。

设刚体M表面是一个光滑曲面S，任意p=(x,y,z)属于S，设p点处深度为h(p)，则
p点附近的刚体表面受到压力是 -g*h(p)*dS，其中dS是有向面积元素，
其方向为外法线方向，所以有个负号。取水面为z=0，则h(p)=-z.
用dV=dxdydz记体积元素。div(X)是向量场散度。\int_S表示对S的面积分。

整个刚体受力为 - \int_S g*h*dS ，即 -g*h*dS的面积分。

设v=(0,0,1)是竖直向上的单位向量，则内积<v, -g*h*dS>是压力的竖直分量。
整个刚体受到竖直向上的力为

- \int_S <v, g*h*dS>
= - g*\int_S <hv,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(hv) dV
= - g*\int_M div(0,0,-z) dV
= - g*\int_M (-1) dV
= g*\int_M dV
= g*V(M)

就是说，竖直方向上受力是g乘以体积。

水平方向上，同样，令w=(1, 0, 0)是x轴单位向量，在这个方向上受的合力是
- \int_S <w, g*h*dS>
= - g*\int_S <hw,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(-z,0,0) dV
= - g*\int_M 0 dV
= 0
同样别的水平方向合力也为0

Answer 2

“在此基础上证明阿基米德的浮力原理”。

任何“原理”都是不可能用数学方法证明的，

数学方法只能验证或者预测物理规律，不然还要

那么多实验室干什么？找几个百度高手胡聊一下

不什么都有啦。阿门！

Answer 3

设水密度为1，则深度为h处压强为gh, g是重力加速度。

设刚体M表面是一个光滑曲面S，任意p=(x,y,z)属于S，设p点处深度为h(p)，则
p点附近的刚体表面受到压力是 -g*h(p)*dS，其中dS是有向面积元素，
其方向为外法线方向，所以有个负号。取水面为z=0，则h(p)=-z.
用dV=dxdydz记体积元素。div(X)是向量场散度。\int_S表示对S的面积分。

整个刚体受力为 - \int_S g*h*dS ，即 -g*h*dS的面积分。

设v=(0,0,1)是竖直向上的单位向量，则内积<v, -g*h*dS>是压力的竖直分量。
整个刚体受到竖直向上的力为

- \int_S <v, g*h*dS>
= - g*\int_S <hv,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(hv) dV
= - g*\int_M div(0,0,-z) dV
= - g*\int_M (-1) dV
= g*\int_M dV
= g*V(M)

就是说，竖直方向上受力是g乘以体积。

水平方向上，同样，令w=(1, 0, 0)是x轴单位向量，在这个方向上受的合力是
- \int_S <w, g*h*dS>
= - g*\int_S <hw,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(-z,0,0) dV
= - g*\int_M 0 dV
= 0
同样别的水平方向合力也为0
这是数学么。。。。用一个有容积尺寸的杯子装一定量的水。放入已称质量的一个轻质物体（保证不沉）。。然后。看水的上升尺寸。再以算出水上升的重量。就和轻质物体相等。。

Answer 4

设水密度为1，则深度为h处压强为gh, g是重力加速度。

设刚体M表面是一个光滑曲面S，任意p=(x,y,z)属于S，设p点处深度为h(p)，则
p点附近的刚体表面受到压力是 -g*h(p)*dS，其中dS是有向面积元素，
其方向为外法线方向，所以有个负号。取水面为z=0，则h(p)=-z.
用dV=dxdydz记体积元素。div(X)是向量场散度。\int_S表示对S的面积分。

整个刚体受力为 - \int_S g*h*dS ，即 -g*h*dS的面积分。

设v=(0,0,1)是竖直向上的单位向量，则内积<v, -g*h*dS>是压力的竖直分量。
整个刚体受到竖直向上的力为

- \int_S <v, g*h*dS>
= - g*\int_S <hv,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(hv) dV
= - g*\int_M div(0,0,-z) dV
= - g*\int_M (-1) dV
= g*\int_M dV
= g*V(M)

就是说，竖直方向上受力是g乘以体积。

水平方向上，同样，令w=(1, 0, 0)是x轴单位向量，在这个方向上受的合力是
- \int_S <w, g*h*dS>
= - g*\int_S <hw,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(-z,0,0) dV
= - g*\int_M 0 dV
= 0
同样别的水平方向合力也为0
我个人认为这个答案回答的太对了

Answer 5

设水密度为1，则深度为h处压强为gh, g是重力加速度。

设刚体M表面是一个光滑曲面S，任意p=(x,y,z)属于S，设p点处深度为h(p)，则
p点附近的刚体表面受到压力是 -g*h(p)*dS，其中dS是有向面积元素，
其方向为外法线方向，所以有个负号。取水面为z=0，则h(p)=-z.
用dV=dxdydz记体积元素。div(X)是向量场散度。\int_S表示对S的面积分。

整个刚体受力为 - \int_S g*h*dS ，即 -g*h*dS的面积分。

设v=(0,0,1)是竖直向上的单位向量，则内积<v, -g*h*dS>是压力的竖直分量。
整个刚体受到竖直向上的力为

- \int_S <v, g*h*dS>
= - g*\int_S <hv,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(hv) dV
= - g*\int_M div(0,0,-z) dV
= - g*\int_M (-1) dV
= g*\int_M dV
= g*V(M)

就是说，竖直方向上受力是g乘以体积。

水平方向上，同样，令w=(1, 0, 0)是x轴单位向量，在这个方向上受的合力是
- \int_S <w, g*h*dS>
= - g*\int_S <hw,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(-z,0,0) dV
= - g*\int_M 0 dV
= 0
同样别的水平方向合力也为0

设水密度为1，则深度为h处压强为gh, g是重力加速度。

设刚体M表面是一个光滑曲面S，任意p=(x,y,z)属于S，设p点处深度为h(p)，则
p点附近的刚体表面受到压力是 -g*h(p)*dS，其中dS是有向面积元素，
其方向为外法线方向，所以有个负号。取水面为z=0，则h(p)=-z.
用dV=dxdydz记体积元素。div(X)是向量场散度。\int_S表示对S的面积分。

整个刚体受力为 - \int_S g*h*dS ，即 -g*h*dS的面积分。

设v=(0,0,1)是竖直向上的单位向量，则内积<v, -g*h*dS>是压力的竖直分量。
整个刚体受到竖直向上的力为

- \int_S <v, g*h*dS>
= - g*\int_S <hv,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(hv) dV
= - g*\int_M div(0,0,-z) dV
= - g*\int_M (-1) dV
= g*\int_M dV
= g*V(M)

就是说，竖直方向上受力是g乘以体积。

水平方向上，同样，令w=(1, 0, 0)是x轴单位向量，在这个方向上受的合力是
- \int_S <w, g*h*dS>
= - g*\int_S <hw,dS> (由Green公式)
= - g*\int_M div(-z,0,0) dV
= - g*\int_M 0 dV
= 0
同样别的水平方向合力也为0
这是数学么。。。。用一个有容积尺寸的杯子装一定量的水。放入已称质量的一个轻质物体（保证不沉）。。然后。看水的上升尺寸。再以算出水上升的重量。就和轻质物体相等。。

Answer 6

要用数学证阿基米德而不是测浮力,那么就是F=pVg中测V.找一块规则柱体铁块,,先测重,再在棱上画出单位长度,挂上测力器一单位一单位地浸入水中,记录读数,做回归分析.