【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化

Question

下面的矩阵可以吗？
A 1 2 1
0 3 0
0 0 0
B 1 2 1
0 1 0
0 0 3

Answer 1

1°先看是不是实对称矩阵，如果是可以对角化，如果不是看第二步
2°算矩阵的特征值，如果特征值都不同，则可以对角化，若特征值有重根再看第三步
3°算有重根的特征值对应的特征多项式的秩，如果秩等于矩阵的阶数减去重数，也就是这个公式r(λiE-A)＝n-ni，相等则可对角化，不等则可以判断该矩阵不能对角化

按上面三步一定可以判断出，也是做题最节约时间的步奏

Answer 2

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

实际判断方法：

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。

此外，实对称矩阵一定可对角化。

扩展资料：

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。

参考资料来源：百度百科——对角化

Answer 3

1.所有特征根都不相等,那么不用说,绝对可以对角化
2.有等根,只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的,那么也可以对角化,如果不是,那么就不能了.
综合起来是说的：有n个线性无关的特征向量!
matlab求重特征值d和对应的特征向量v
>> [v,d]=eig(A)
v =
0 0.5774 -0.8944
0 -0.5774 0.4472
1.0000 -0.5774 0
d =
1 0 0
0 -2 0
0 0 1
所以可以对角化

　　矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 5

找到一个矩阵，我们对这个矩阵进行是否能够对角化的判断，我们暂且对把这个定义成A矩阵

我们需要用到一个公式，如下图所示，我们这一步就是直接按照公式套入就可以了。

我们需要把上一步得到的结果进行整理，结果是一个行列式。我们就直接按照行列式的展开法则进行展开。

我们根据上一步最终的算式，得出这个算式的指，也就是这个行列式的特征根。

我们得到这个行列式的特征根之后需要做的就是对这两个根进行讨论，然后求出来基础解系，然后我们根据基础解系来判断是否能够进行对角化。