对于证明类的题目,一般的思路、步骤如下:
1、明确已知、未知(假设);
2、找出已知和未知(假设)之间的联系、关系(式);
3、用已知表示未知(假设),写出表达(式);
4、验证未知(假设)的性质,成立;
5、搞定。
1、明确已知、未知(假设):
例11 中,f(x) 是已知、确定的函数, 在其定义域内存在 奇函数和偶函数之和等于 f(x),请注意是 “存在”,但是不确定是哪个奇函数和偶函数(请注意 存在 与 任一 的区别)。我们只需要找到一组奇函数和偶函数满足之和等于f(x),即可证明题目。
已知的条件是:
1、f(x);
对于“存在”类的证明题目,我们顺着题目走(对于“任一”类的证明题目,则要反着题目走),我们假设确实有这两个函数的存在,那么假设条件两个:
假设条件1、不确定是哪两个函数,但是存在的这两个函数,一个是奇函数 h(x),一个是偶函数 g(x);
假设条件2、这两个之和等于 f(x),即:f(x) =g(x) +h(x)。
2、找出已知和未知(假设)之间的联系、关系(式),让二者联系起来,处对象不也得先让俩人有联系嘛。
在已知和假设之间建立关系(假设条件2),f(x)=g(x)+h(x) ...................................................式1
我们注意到假设条件1,函数的奇偶性,奇函数和偶函数性质是啥:
g(-x)=g(x)、h(-x)=-h(x) ............................................................ ...式2。
到这儿了,是不是该联想一下 f(-x) 是个啥情况了:f(-x)=g(-x)+h(-x) ,
有没有很想尽量去掉这些减号,f(-x)=g(x)-h(x) ,
这下是不是清爽多了,现在,我们的已知和未知(假设)之间的联系又多了个式子,即 ,
f(-x)=g(x)-h(x) ..............................................................................式3
OK,已知和未知(假设)之间的联系找到了,式1 和 式3。
3、用已知表示未知(假设)。
已知是:f(x),那么f(-x)也是已知的;
未知(假设)是 :g(x)、h(x) ,(两个未知,所以 步骤2 中至少得找到两个联系式)。
怎么用 f(x) 来表达呢?
请注意,f(x)、f(-x)已知,g(x)、h(x)未知, 式1 和 式 3,它不就是个 二元一次方程组嘛,解方程,得到:
g(x)=1/2 [ f(x) + f(-x) ] ...........................................................式4
h(x)=1/2 [ f(x) - f(-x) ] ..........................................................式5
然后这不就完成 用已知表示未知(假设)了嘛。也就是找到了这个存在(找到了这个存在)。
步骤1-3,也就是书上的分析、启发。
4、验证未知(假设)的性质;
书中这个“作”字,就是“假设”的意思。也就是说,我通过“草稿纸”上的推演、思考,已经找到这两个函数了,那我就拿出这两个函数,去验证下其性质,告诉出题老师,确实有这两个函数。(就是根据假设推演出来的,肯定验证的过去啊!抱着孩子去找丈母娘提亲,你觉得可能不通过吗?)
式4 + 式5,验证假设条件2,成立;
式4、式5,分别带入 -x,验证假设条件1,成立。
5、搞定。
Ps. 写的很啰嗦,其实数学的重点就在于 思维、方法。得有数学得思维,其实也就是逻辑。
草稿纸上的2、3式是什么意思?你能解释一下吗?
追答其实是令g(x)=1/2(f(x)+f(-x)),然后不难验证g(x)是偶函数
其实是令h(x)=1/2(f(x)-f(-x)),然后不难验证h(x)是奇函数
追问我想问一下题目里的定义域为什么是“开区间?”为什么不是“闭区间?”“半开半闭区间”可以吗?
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