高等数学 求最小曲率半径 图中58题

Question

如题所述

Answer 1

58. y = sinx, y' = cosx, y''= -sinx，
曲率半径 R = (1+y'^2)^(3/2)/|y''| = [1+(cosx)^2]^(3/2)/|-sinx|
0 < x < π 时，
R = [1+(cosx)^2]^(3/2)/sinx
dR/dx = {(3/2)[1+(cosx)^2]^(1/2)(-2cosxsinx)sinx - [1+(cosx)^2]^(3/2)cosx}/(sinx)^2
= -cosx[1+(cosx)^2]^(1/2)[3(sinx)^2 +1+(cosx)^2]/(sinx)^2
dR/dx = 0， 得 cosx = 0, 得唯一驻点 x = π/2
因系实际问题，正弦曲线在该点曲率半径最小，
R<min> = 1追问

为什么这个唯一驻点一定是定义域内最小值点呢 不需要证明吗

追答

可以进一步证明。
但实际问题确定有极大值或极小值时，
该唯一驻点就是所求极值点。