三角形角平分线对应边成比例

Question

如题所述

Answer 1

三角形角平分线对应边成比例定理，也称为角平分线定理或角平分线比例定理，是一个关于三角形角平分线的定理。

如果一个三角形ABC的角平分线AD与BC边上的中线AE相互重合，那么在三角形ABD和三角形ACD中，BD与DC的比等于AB与AC的比，即AB/AC=BD/DC。

这个定理可以直接从斯托克斯定理推出。角平分线上的点到角两边的距离相等，因此，对于三角形角平分线上的点D，到AB和AC的距离相等，到BD和DC的距离也相等，由斯托克斯定理可以推出AB与AC的比等于BD与DC的比。

这个定理还可以通过梅涅劳斯定理的逆定理推出。梅涅劳斯定理的逆定理是：如果三角形一边上的三个点与对边的四个点连接所得线段相互相等，那么这三个点共线。在三角形ABC中，设AD是角平分线，E是BC中点，可以得到AB：AC=（BD：DC）。因此，三角形角平分线对应边成比例是正确的。

角平分线定理的应用：

1、分割线定理：角平分线可以用来确定一个图形的分割线，即角平分线上的点到角的两边距离相等。因此，在解几何问题时，可以将一个复杂图形划分为几个小三角形，然后利用分割线定理来解决问题。

2、等腰三角形：角平分线定理也是等腰三角形的一个重要性质。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角的角平分线也相等。这个性质可以用来证明一些等腰三角形的性质和定理，比如等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。

3、三角形的重心：三角形的重心是三条中垂线的交点。如果一个三角形有一个重心，那么这个重心到三个顶点的距离相等。这个性质可以用来解决问题，比如在解一些与三角形重心有关的问题时，可以用来证明一些三角形重心定理。

4、解一些几何问题：角平分线定理也是解一些几何问题的有效工具。例如，在解一些关于三角形内接多边形的问题时，可以利用角平分线定理来解决问题。