函数y= f(x)的图像关于点a(a, b)对称

Question

如题所述

Answer 1

这道题要用到一条重要的结论：
函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：
必要性
设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，
∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，
∴ 2b－y = f (2a－x)
移项得：y+ f (2a－x)=2b
故f (x) + f (2a－x) = 2b，
必要性得证。

充分性
设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b
∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，
即：y0+f (2a－x0)=2b
移项得：2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，
充分性得证。

当a=1，b=1时：
函数 y = f (x)的图像关于点A (1 ,1)对称的充要条件是f (x) + f (2－x) = 2

所以：任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,则函数f(x)关于(1,1)中心对称。