求泰勒展开式的公式。

Question

如题所述

Answer 1

常见泰勒公式如下：

泰勒公式是函数展开的一种方式，即把一个函数在某一点的邻域内展开成一个多项式形式。下面就为您详细介绍一下常见的泰勒公式。

1.一阶泰勒公式\n
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)其中f(a)为f(x)在x=a处的函数值，f′(a)为f(x)在x=a处的导数。

2.二阶泰勒公式\n
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)2/2其中f′′(a)为f(x)在x=a处的二阶导数。

3.三阶泰勒公式\n
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)2/2+f′′′(a)(x−a)3/6其中f′′′(a)为f(x)在x=a处的三阶导数。

4.正弦泰勒公式\n
sin(x)=x−x3/3!+x5/5!−x7/7!+⋯其中!表示阶乘。

5.余弦泰勒公式\n
cos(x)=1−x2/2!+x4/4!−x6/6!+⋯其中!表示阶乘。

6.自然指数泰勒公式\n
e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+⋯其中!表示阶乘。

7.对数函数的泰勒公式\n
ln(1+x)=x−x2/2+x3/3−x4/4+⋯当|x|<1时。

总之，泰勒公式是很常用的一个数学工具，主要用于在给定点附近的多项式逼近问题中。掌握和灵活运用泰勒公式是学习高等数学、物理等方面的基本功。

拓展资料：

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。