在几何学中，柱面与平面是两种不同的几何对象。
首先，柱面是由一条直线沿着一条曲线运动而形成的曲面。具体来说，我们可以将这条直线看作是一个母线，而曲线则定义了柱面的轮廓。柱面可以是直纹的或扭纹的，取决于曲线的形状。例如，当曲线是圆时，形成的柱面就是圆柱面；当曲线是椭圆时，形成的柱面就是椭圆柱面。
而平面是一个无限延伸的二维空间，没有厚度和体积。平面可以由直线、曲线、点等几何元素构成，并且可以通过平行线、垂直线等关系来描述。平面上的任意两点都可以确定一条直线，而平面上的所有直线都相交于一点，这个点被称为垂足。
柱面与平面之间存在一些关系和区别：
1.形状：柱面是一个封闭的曲面，具有长度和宽度，但没有厚度；而平面是一个无限延伸的二维空间，没有厚度和体积。
2.维度：柱面是三维几何对象，而平面是二维几何对象。
3.性质：柱面上的每一点都有两个方向的运动自由度（沿着母线和垂直于母线），而平面上的每一点只有两个方向的运动自由度（沿着直线）。
4.表示方法：柱面可以用参数方程或母线方程来表示，而平面可以用方程或向量表示。
5.交线：柱面与平面的交线是一个一维的曲线，称为柱面的轴线。轴线可以是直线、曲线或折线。
6.应用：柱面在建筑、工程和艺术等领域有广泛的应用，如圆柱体、圆锥体、球体等都是常见的柱面结构；而平面则广泛应用于绘图、设计、几何推理等方面。
综上所述，柱面与平面是几何学中的两种不同对象，它们在形状、维度、性质和应用等方面存在明显的区别和联系。