2阶微分方程如何求通解？

Question

如题所述

Answer 1

首先，2阶微分方程，只能有两个独立的常数，第一个选项是错误的。
y1,y2,y3代入
y1''十p(x)y1'十q(x)y1=Ψ(x)
y2''十p(x)y2'十q(x)y2=Ψ(x)
y3''十p(x)y3'十q(x)y3=Ψ(×)
第1,3式相减:
(y1-y3)"十p(x)(y1-y3)'十q(x)(y1-y3)=0
y1-y3是对应齐次方程的一个解。
两边同时乘以C1得:
C1(y1-y3)"十p(x)C1(y1-y3)'十q(x)C1(y1-y3)=0

同理:
C2(y2-y3)"十p(x)C2(y2-y3)'十q(x)C2(y2-y3)=0
上述两式与开始的y3式相加:
[C1(y1-y3)十C2(y2-y3)十y3]"十p(x)[C1(y1-y3)十C2(y2-y3)十y3]'十q(x)[C1(y1-y3)十C2(y2-y3)十y3]=Ψ(x)
最后一个选项正确。
y1,y2,y3，任意两个相减乘常数，都是齐次方程通解，取两项即可，y1,y2，y3任意一个都是非齐次方程特解，任选一个与齐次通解相加，都是非齐次方程的通解。