#考研数学 概率论 数理统计 的概念问题# 有关样本Xi的问题？

Question

我所理解的样本就是，从一个数量非常大的总体内随机抽取n个观测值，这n个观测值就构成一个样本容量为n的样本。样本均值：就是这n个样本相加取平均。但是样本的期望E(Xi)是什么意思？每个样本都代表着一次取样，每次取样都有n个观测值，那么这个Xi代表什么？怎么取值？还有∑(Xi)是什么意思？每个Xi背后都有n个观测值，怎么求和呢?是对每个样本求平均再对每个样本均值求和吗？有点不理解，望老师赐教。谢谢

Answer 1

在概率论和数理统计中，你理解的样本是正确的，即从一个总体中随机取出的n个观测值。
这里的Xi代表的是随机变量，也就是样本中的每一个观测值，i只是它的序号，从1到n。所以每个Xi都是一个具体的观测值，例如X1表示的就是样本中的第一个观观测值。当然，Xi也是个随机变量，因为你每次采样得到的值可能是不同的。
样本的期望E(Xi)通常是指对随机变量Xi的期望，而不是对样本的期望。随机变量的期望通常可以理解为该随机变量可能取值的加权平均，权重就是每个值的概率。
ΣXi的字面意思是求所有Xi的和，即所有观测值的和，通常称之为样本和。
求和并不意味着对每个样本求平均再对每个样本均值求和。如果ΣXi代表的是所有观察值的和，那么ΣXi/n就是你所说的样本均值，也就是所有观测值的平均

Answer 2

理解统计学中的概念可能会涉及一些抽象的思维，我会尽量详细解释以帮助你更好地理解。
首先，我们来认识一些基本概念：
1. 总体（Population）：总体是你感兴趣的整个数据集或群体，其中包含所有你想要研究的个体或观测值。
2. 样本（Sample）：样本是从总体中随机选取的一组观测值，它是总体的一个子集。通过研究样本，我们可以尝试推断关于整个总体的信息。
3. Xi：在统计中，通常用大写字母表示随机变量，而小写字母表示随机变量的一个特定取值。在这种情况下，Xi 表示从样本中随机抽取的第 i 个观测值。
4. 样本均值（Sample Mean）：样本均值是指从样本中抽取的观测值的平均值，通常用 x̄ 表示。
5. 期望（Expectation）：在统计中，期望表示随机变量的平均值。如果我们把样本视为随机变量，那么 E(Xi) 表示从样本中抽取的第 i 个观测值的平均值，换句话说，它就是样本的均值 x̄。
6. Σ（大写希腊字母Sigma）：Σ 表示求和符号，用于将一系列值相加。
现在让我们来解释一下你提到的公式 ∑(Xi)：
- ∑(Xi) 表示将从样本中抽取的所有观测值 Xi 相加起来的结果。这实际上就是将样本中的每个观测值相加，得到总和。这个操作用于计算总体的某些统计量。
举个例子：
假设我们有一个总体，即一组身高数据，然后我们随机抽取了若干个样本，每个样本都包含 n 个身高观测值。现在我们想要计算每个样本的均值以及所有样本均值的平均值。
- 对于一个特定的样本，Xi 代表这个样本中的一个身高观测值。
- E(Xi) 即这个样本的均值，也就是这个样本中所有身高观测值的平均值。
- ∑(Xi) 表示这个样本中所有身高观测值的总和，用于计算样本总体的一些统计量。
- 我们从不同的样本中计算出多个样本均值（E(Xi)），然后再计算所有样本均值的平均值，这就是我们对总体均值的估计。
总结起来，Xi 代表样本中的一个观测值，E(Xi) 代表这个样本的均值，∑(Xi) 代表这个样本中所有观测值的总和。在统计学中，这些概念和符号是用来描述和计算样本和总体之间的关系以及估计总体参数的方法。本回答被提问者采纳

Answer 3

在统计学中，一个样本代表的是总体的一部分，而样本的大小则取决于具体的研究问题和方法。下面对样本、样本均值和样本期望进行说明：

样本：在统计学中，样本是指从总体中抽取的一部分数据。样本与总体的关系可以类比为一块蛋糕和整个蛋糕店的关系。样本数据是用来代表总体数据的，因为研究者没有办法直接使用总体数据。

样本均值：样本均值是指样本的所有观测值的平均数。用符号 X̄ 表示。计算样本均值的公式为：X̄ = (Xi1 + Xi2 + … + Xin) / n，其中 Xi1 到 Xin 表示样本中的各个观测值，n 表示样本的大小。

样本期望：样本期望是指一个样本的所有观测值的加权平均数，其中每个观测值的权重相等。用符号 E(Xi) 表示。计算样本期望的公式为：E(Xi) = (Xi1 + Xi2 + … + Xin) / n，其中 Xi1 到 Xin 表示样本中的各个观测值，n 表示样本的大小。

在统计学中，∑(Xi)表示对所有的 Xi 的观测值求和。这个符号是求和符号，意思是将左边符号下标范围内的所有数都加起来。例如，如果有一个样本包含 5 个观测值，分别为 1、2、3、4、5，则 ∑(Xi) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。

需要注意的是，对于不同的问题和数据类型，计算样本均值和样本期望的方式可能会略有不同。在具体应用时，需要结合实际情况进行合理选择。