2008年江苏省连云港市中等学校招生考试
数学试题
一、选择（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，满分24分）
1．计算 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．据《连云港日报》报道，至2008年5月1日零时，田湾核电站1、2号两台机组今年共累计发电42.96亿千瓦时．“42.96亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如果 有意义，那么字母 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，
则必有（ ）
A． B．
C． D．
6．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥
7．已知 为矩形 的对角线，则图中 与 一定不相等的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知某反比例函数的图象经过点 ，则它一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
二、填空（每小题4分，满分32分）
9．如果 ，那么 的算术平方根是 ．
10．当 时，代数式 的值为 ．
11．在 中， ， ， ，则 ．
12．若一个分式含有字母 ，且当 时，它的值为12，则这个分式可以是 ．
（写出一个即可）
13．不等式组 的解集是 ．
14．如图，一落地晾衣架两撑杆的公共点为 ， cm， cm．若撑杆下端点 所在直线平行于上端点 所在直线，且 cm，则 cm．
15．如图，扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为 ，用它制作一个圆锥形火炬模型的侧面（接头忽略不计），则这个圆锥的高约为 cm．（结果精确到0.1cm．参考数据： ， ， ， ）
16．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的， ，依此类推，则由正 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．
三、计算与求解（满分20分）
17．（本小题满分12分）
（1）计算： ；
（2）解方程： ．
18．（本小题满分8分）
如图， 内接于 ， 为 的直径， ， ，过点 作 的切线与 的延长线交于点 ，求 的长．
四、画图与说理（满分16分）
19．（本小题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．
（1）请在图中画出 ，使得 与 关于点 成中心对称；
（2）若一个二次函数的图象经过（1）中 的三个顶点，求此二次函数的关系式．
20．（本小题满分8分）
如图，在直角梯形纸片 中， ， ， ，将纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ．连接 并展开纸片．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）取线段 的中点 ，连接 ，如果 ，试说明四边形 是等腰梯形．
五、生活与数学（满分32分）
21．（本小题满分8分）
某中学为了了解七年级学生的课外阅读情况，随机调查了该年级的25名学生，得到了他们上周双休日课外阅读时间（记为 ，单位：小时）的一组样本数据，其扇形统计图如图所示，其中 表示与 对应的学生数占被调查人数的百分比．
（1）求与 相对应的 值；
（2）试确定这组样本数据的中位数和众数；
（3）请估计该校七年级学生上周双休日的平均课外阅读时间．
22．（本小题满分12分）
甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
23．（本小题满分12分）
“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的 两地，由于两市通住 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
地 地
每千顶帐篷所需车辆数 甲市 4 7
乙市 3 5
所急需帐篷数（单位：千顶） 9 5
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．
六、操作与探究（满分26分）
24．（本小题满分14分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的 ， 处，直角边 在 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至 处时，设 与 分别交于点 ，与 轴分别交于点 ．
（1）求直线 所对应的函数关系式；
（2）当点 是线段 （端点除外）上的动点时，试探究：
①点 到 轴的距离 与线段 的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 取最大值时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本小题满分12分）
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某地有四个村庄 （其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
2008年江苏省连云港市数学试题答案及评分标准
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B
二、填空题
9． ； 10． ； 11． ； 12． （答案不唯一）；
13． ； 14．60； 15．44.7； 16．
三、计算与求解
17．（1）解：原式 3分
6分
（2）解法一：因为 ，所以 ． 3分
即 ．所以，原方程的根为 ， ． 6分
解法二：配方，得 ． 2分
直接开平方，得 ． 4分
所以，原方程的根为 ， ． 6分
18．解： 是 的直径， ．又 ，
， ． 3分
又 ，所以 是等边三角形，由 ，知 ． 5分
是 的切线， ．
在 中， ， ，
所以， ． 8分
四、画图与说理
19．解：（1） 如图所示． 3分
（2）由（1）知，点 的坐标分别为 ．
由二次函数图象与 轴的交点 的坐标为 ，
故可设所求二次函数关系式为 ． 5分
将 的坐标代入，得 ，解得 ．
故所求二次函数关系式为 ． 8分
20．证明：（1） ， ， ．
由沿 折叠后 与 重合，知 ， ．
四边形 是矩形，且邻边 相等．
四边形 是正方形． 3分
（2） ，且 ， 四边形 是梯形． 4分
四边形 是正方形， ， ．
又点 为 的中点， ．连接 ．
在 与 中， ， ， ，
， ． 6分
， ， 四边形 是平行四边形．
． ． ．
四边形 是等腰梯形． 8分
注：第（2）小题也可过点 作 ，垂足为点 ，证 ．
五、生活与数学
21．解：（1）与 相对应的 值为 ． 2分
（2）在样本数据中，“1”的个数 ，同理可得“2”，“3”，“4”，“5”，“6”的个数分别为4，6，7，3，2．可知样本数据的中位数和众数分别为3小时和4小时． 5分
（3）这组样本数据的平均数为
（小时）
由抽样的随机性，可知总体平均数的估计值约为3.36小时．
答：估计该校七年级学生上周双休日的平均课外阅读时间约为3.36小时． 8分
22．解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，
故甲摸出“石头”的概率为 ． 3分
（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为 ． 6分
（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出．
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为 ；
若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为 ；
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为 ；
若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为 ． 10分
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大． 12分
23．解：（1）设总厂原来每周制作帐篷 千顶，分厂原来每周制作帐篷 千顶．
由题意，得 3分
解得 所以 （千顶）， （千顶）．
答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶． 6分
（2）设从（甲市）总厂调配 千顶帐篷到灾区的 地，则总厂调配到灾区 地的帐篷为 千顶，（乙市）分厂调配到灾区 两地的帐篷分别为 千顶．
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为 辆． 8分
由题意，得 ．
即 ． 10分
因为 ，所以 随 的增大而减小．
所以，当 时， 有最小值60．
答：从总厂运送到灾区 地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区 两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆． 12分
六、操作与探究
24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知 两点的坐标分别为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ． 2分
有 解得
所以，直线 所对应的函数关系式为 ． 4分
（2）①点 到 轴距离 与线段 的长总相等．
因为点 的坐标为 ，
所以，直线 所对应的函数关系式为 ．
又因为点 在直线 上，
所以可设点 的坐标为 ．
过点 作 轴的垂线，设垂足为点 ，则有 ．
因为点 在直线 上，所以有 ． 6分
因为纸板为平行移动，故有 ，即 ．
又 ，所以 ．
法一：故 ，
从而有 ．
得 ， ．
所以 ．
又有 ． 8分
所以 ，得 ，而 ，
从而总有 ． 10分
法二：故 ，可得 ．
故 ．
所以 ．
故 点坐标为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ，
则有 解得
所以，直线 所对的函数关系式为 ． 8分
将点 的坐标代入，可得 ．解得 ．
而 ，从而总有 ． 10分
②由①知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
． 12分
当 时， 有最大值，最大值为 ．
取最大值时点 的坐标为 ． 14分
25．解：（1）如图所示： 4分
（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分
（3）此中转站应建在 的外接圆圆心处（线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点处）． 10分
理由如下：
由 ，
， ，
故 是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为 的外接圆，
设此外接圆为 ，直线 与 交于点 ，
则 ．
故点 在 内，从而 也是四边形 的最小覆盖圆．
所以中转站建在 的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
12分
【注：各题其它的解法，请参照本评分标准评分】
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