设A、B、C、D是半径为2的球面上四个不同动点，且向量AB⊥向量AC，向量AB⊥向量AD，向量AC⊥向量AD，

Question

三角形ABC、三角形ABD、三角形ACD的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3最大值为？ （A,B,C,D可以是球面内的正方形，而不是正方体吗？）

Answer 1

A-BCD是长方体的一个角，
A-BCD所在长方体的体对角线为A-BCD外接球的直径
设AB=a,AC=b,AD=c
那么a^2+b^2+c^2=4R^2
而S1=1/2ab,S2=1/2ac,S3=1/2bc
∵a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca
∴ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2

∴S1+S2+S3
=1/2(ab+bc+ca)
≤1/2(a^2+b^2+c^2)=2R^2

即S1+S2+S3的最大值为2R2来自：求助得到的回答