代数基本定理的证明

Question

如题所述

Answer 1

代数基本定理的证明如下：

1、首先，根据复分析中的Liouville定理，任何在整个复平面解析的复变函数都是有界的。也就是说，如果f(z)在复数域内每个点都解析，又是有界的，则存在m>0，使得|f(z)|≤m，其中z∈ C。

2、接下来，我们考虑f(z)的零点。由于f(z)是一个多项式，根据代数基本定理，f(z)在复数域内至少有一个零点。设这个零点为z_0。

3、然后，我们证明z_0不是f(z)的唯一零点。假设z_0是f(z)的唯一零点，那么f(z)在z_0处取到极值。但是，由于f(z)是有界的，且在复数域内解析，根据极值定理，f(z)在复数域内至少有一个非零的极值点。然而，这与z_0是f(z)的唯一零点矛盾。

拓展资料：

这个定理的重要性在于它解决了几百年来困扰数学家们的问题，即如何判断一个多项式方程是否有实数根。在代数基本定理提出之前，人们只能通过尝试或使用数值方法来寻找多项式的根，这种方法不仅费时费力，而且结果也不准确。而代数基本定理的提出，为解决这一问题提供了一种全新的思路和方法。

代数基本定理的证明可以采用归纳法和复数的性质来完成。我们可以将多项式方程表示为f(x)= 0的形式，其中f(x)是一个复数域上的一元n次多项式。我们考虑f(x)的特殊情况，即当n=1时，f(x)=ax+b的形式。此时，如果a≠0，则f(x)的根为x=-b/a；如果a=0且b≠0，则f(x)没有实数根；如果a=0且b=0，则f(x)有无穷多个实数根。