换元积分法的技巧归纳

Question

如题所述

Answer 1

换元积分法的技巧归纳如下：

一、三角函数换元

三角函数换元是指通过将被积函数中的一部分转化为三角函数，从而达到简化积分的目的。常见的三角函数换元包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

1、正弦换元：一般适用于形如∫f(sinx)dx的积分。

若被积函数中出现了较高次幂的正弦函数，例如∫sin^n(x)dx，可考虑使用半角公式sin^2(x)=(1-cos(2x))2，将高次幂的正弦函数转化成余弦函数的幂次。

2、余弦换元：一般适用于形如∫f(cosx)dx的积分。

与正弦换元类似，若被积函数中出现了较高次幂的余弦函数，例如∫cos^n(x)dx，可考虑使用半角公式cos^2(x)=(1+cos(2x))/2，将高次幂的余弦函数转化成正弦函数的幂次。

3、正切换元：一般适用于形如∫f(tanx)dx的积分。

若被积函数中出现了正切函数与其它三角函数的乘积，例如∫tan^m(x)sec^n(x)dx，可考虑使用正切函数的倒数公式sec^2(x)=1+tan^2(x)，将被积函数简化为只包含正切函数的表达式。

二、指数函数换元

指数函数换元是指通过将被积函数中的一部分转化为指数函数，从而达到简化积分的目的。常见的指数函数包括e^x，a^x等。

1、e^x换元：一般适用于形如∫f(e^x)dx的积分。

通过将被积函数中的指数部分转化成某一变量的指数形式，可以使积分更加简单。例如将e^x用t代替，则dx=dt，被积函数可以转化为∫f(t)dt。

2.a^x换元：一般适用于形如∫f(a^x)dx的积分。

与e^x换元类似，通过将被积函数中的指数部分转化成某一变量的指数形式，可以使积分更加简单。例如将a^x用t代替，则dx=dt/(lna)，被积函数可以转化为∫f(t)dt。