x区域无穷大时,lnx和幂函数x^a谁趋向无穷大更快:指数函数上升最快,幂函数无论如何也比不过指数函数,对数函数最慢,是指数函数的反函数,所以此题是对数函数比幂函数,显然为零,当然,用L'hospital法则就行。
其他状况同理可证,设a>1,b>0,则需要证明a^x/x^b趋于无穷或者x^b/a^x趋于0,我们证明后者,取xn为正有理数数列,即需证明对任意的正数c>0,存在N,使得n>N,都有xn^b/a^xnN时成立,证毕。
负值性质:
当α<0时,幂函数y=xα有下列性质。
a、图像都通过点(1,1)。
b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。
c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。