关于若尔当矩阵中过渡矩阵的求法

Question

如题所述

Answer 1

在考研复习中，有一种常被忽视但又至关重要的知识点，那就是如何在确定了Jordan标准形后，求解过渡矩阵。这个问题往往在考试中成为失分点，因此不容小觑。下面就以两个例子来深入解析这一过程。

例1： 现给定矩阵A，其特征多项式为：

A的特征值为1和3（其中3是2重特征值）。首先，对于特征值1，它在Jordan标准形的主对角线上只出现一次，而3的Jordan块数为3-2=1。因此，A的Jordan标准形可以表示为：

接下来，我们需要找到过渡矩阵P，使得

我们设

通过计算，我们得到

进而求得

岩宝提示： 请注意，过渡矩阵P的选择并非唯一，例如，可以尝试其他列向量排列，如

这表明Jordan块的排列顺序在标准形中是可调整的，但块的结构是固定的。

例2： 对于矩阵B，特征多项式显示其特征值为2（3重）。通过计算，主对角元为2的Jordan块数为3-1=2，因此Jordan标准形为：

为找到P，设

我们要求解

通过求解，得到一般解和特解，进而确定P。

岩宝提示： 当遇到无解的情况，如本例中，确保线性方程组有解至关重要，这直接影响过渡矩阵的求解。
同步思考练习：

1. 对于矩阵C，求其Jordan标准形并找到P，使得

2. 对于矩阵D，同样求其Jordan标准形和P，使得

3. 对于矩阵E，求解其Jordan标准形和P，使得

4. 对于矩阵F和G，分别求解它们的Jordan标准形和过渡矩阵P，其中（1）

和（2）