n阶行列式展开公式推导

Question

如题所述

Answer 1

n阶行列式展开公式推导回答如下：

行列式是一个重要的线性代数概念，n阶行列式的展开公式是通过对行列式的各种代数操作和性质的推导而来的。展开公式可以用于计算n阶行列式的值，它通常以代数余子式和元素的符号排组合的方式来表达。

下面是n阶行列式展开公式的推导，假设我们有一个n阶方阵A，它的行列式用|A|表示。

首先，回顾一下2阶和3阶行列式的情况，以便理解推导的思想。

对于2阶矩阵：

|A|=a11*a22-a12*a21

对于3阶矩阵：

|A|=a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

考虑n阶矩阵A的第一行元素a11,a12,a13,...,an。我们可以选择任意一个元素ai（i=1,2,...,n）作为展开的第一个元素。对于选择的元素aij，我们将构造一个n-1阶子矩阵Mij，该子矩阵是通过从A中去掉第i行和第j列的所有元素得到的。

接下来，我们计算子矩阵Mij的行列式，记作|Mij|。然后，我们将这个行列式乘以元素aij，并乘以一个符号，该符号的选择基于i和j的奇偶性决定。通常，如果i+j的和是偶数，符号为正；如果i+j的和是奇数，符号为负。最后，我们将所有这些展开项相加，得到n阶行列式的值。

展开公式的一般形式如下：

|A|=a11*|M11|-a12*|M12|+a13*|M13|-...+(-1)^(n+1)*an1*|Mn1|

其中，Mij是去掉第i行和第j列的n-1阶子矩阵。

这个展开公式被称为"拉普拉斯展开"，它是一种递归方法，通过将大的行列式拆解为小的行列式，最终求得整个n阶行列式的值。这个方法在计算行列式的值时非常有用，尤其在高阶行列式的情况下。