无穷小的概念和性质

Question

如题所述

Answer 1

无穷小量的性质包括以下几个方面：
1. 无穷小量是一个变量，而不是一个具体的数值。
2. 在无穷小量的概念中，零可以被视为唯一的常量。
3. 无穷小量与自变量的变化趋势有关。
4. 如果函数g(x)在某个特定点x0的邻域内有界，那么g(x)可以被称为当x趋向于x0时的有界量。
5. 有限个无穷小量相加的和仍然是无穷小量。
6. 有限个无穷小量相乘的积仍然是无穷小量。
7. 有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
8. 特别地，常数与无穷小量的乘积也构成无穷小量。
9. 非零无穷小量的倒数是无穷大，而无穷大的倒数是无穷小。
无穷小的运算规则如下：
1. 无穷小的加减法遵循普通数的运算法则，即同类项相加减。例如，如果a和b都是趋近于零的无穷小，那么a + b和a - b仍然是无穷小。
2. 无穷小的乘法不遵循普通数的运算法则，而是需要应用极限的知识。例如，如果a和b都是趋近于零的无穷小，那么a * b也是无穷小，但在计算时要注意，如果a和b中至少有一个是高阶无穷小，那么它们的乘积将不再是无穷小，而是更高阶的无穷小。
3. 无穷小的除法同样需要应用极限的知识。如果a和b都是趋近于零的无穷小，那么a / b也是无穷小，但需要注意，当b趋近于零时，应确保b不是高阶无穷小，以避免除数为零的情况。