概率论-论随机变量及其分布的题 求解

Question

我们通常用随机变量X来刻划一个随机试验中的所有可能的随机事件.（1）讨论随机变量可分为连续型与离散型两种基本类型,请问离散型随机变量X所能取值的特点是什么？（2）设X是连续型随机变量，则它的概率密度函数f(X)是概率吗？它的概率分布函数fx(X)是概率吗？两者有什么关系？（3）设随机变量X满足正态分布N(μ ,σ)，则在X的概率密度函数f(X)的图形中，其峰值（最高点处）是什么值？它代表着怎样的意义？

Answer 1

(1)离散随机变量X的取值特点是，其取值为0和正整数/自然数【不能为负数】。
(2)X为连续随机变量时，概率密度函数为f(x)不是概率，则其概率分布函数Fx(X)=∫(-∞,x)f(x)dx，是概率。其关系是f(x)=[Fx(X)]'，即f(x)是概率函数Fx(X)的一阶导函数。
(3),X~N(μ,δ²)。f(x)在x=μ时，取得最大值f(μ)=1/√(2π)。代表是是f(x)的最大值点。

Answer 2

1、设离散型随机变量x的分布律如下，求a的
值。阿P｛Xx｝（k1.2，，n，）kk！ a
解：由性质2，我们有，而 1k1k！ a
1 1 a a 1 a（e1）k1k！k1k！ k0k！则有等式a（e-1）
1，解得a 1/（e-1）
例2设一辆汽车在开往目地的的道路上需经过两
组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的
信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的）
求X的分布律与分布函数
解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率
易知X的分布律为X012概率p（1 p）p（1 p）2将p1/2代入表格，我们有X012概率0.5 0.25 0.25
下面求X的分布函数F（x）
当0<x<2时，｛X<x｝等同于｛X0或X1｝，因此F（x）P｛X0｝+P｛X1｝0.5+0.25 0.75
当2<x时｛X<x｝是必然事件，因此F（x）1。综合起来，F（x）的表达式为：0，x 0，0.5，0 x 1，F（x）0.75，1 x 2，1，x 2
例3如上图所示.电子线路中装有两个并联的 继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机 性，且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数.

Answer 3

离散随机变量X的取值特点是，其取值为0和正整数/自然数，不能为负数。
X为连续随机变量时，概率密度函数为f(x)不是概率，则其概率分布函数Fx(X)=∫(-∞,x)f(x)dx，是概率。其关系是f(x)=[Fx(X)]'，即f(x)是概率函数Fx(X)的一阶导函数。
X~N(μ,δ²)。f(x)在x=μ时，取得最大值f(μ)=1/√(2π)。代表是是f(x)的最大值点。