用拉格朗日中值定理求极限(n+1)的a次-n的a次

Question

如题所述

Answer 1

根据拉格朗日中值定理，对于任意的实数 a 和 b （a < b），如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，那么存在一个介于 a 和 b 之间的实数 c，使得：
f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
将题目中的表达式 y = (n+1)^(a) / n^(a) 进行变形：
y = [(n+1)/n]^a
这里可以将 y 看作是函数 f(x) = [(x+1)/x]^a 在区间 [n, n+1] 上的取值。因此，应用拉格朗日中值定理，存在一个介于 n 和 n+1 之间的实数 c，使得：
f(n+1) - f(n) = f'(c)(n+1 - n)
也就是：
[(n+2)/(n+1)]^a - [(n+1)/n]^a = f'(c)
接下来的关键是求出 f'(c)，即将函数 f'(x) = a[(x+1)/x]^(a-1) 求在点 x=c 的取值。
f'(c) = a[(c+1)/c]^(a-1)
将上式代入前面的式子，得到：
[(n+2)/(n+1)]^a - [(n+1)/n]^a = a[(c+1)/c]^(a-1)
将左边第一项化简：
[(n+2)/(n+1)]^a = [(n+1)/(n+1)]^a * [(n+2)/(n+1)]^a
= [(n+1)/(n+1)]^a * [(n+1)/(n)]^a * [(n+2)/(n+1)]^a
= (n+1)^a / n^a * (n+2)/(n+1))^a
同理，将左边第二项化简，得到：
[(n+1)/n]^a = [(n+1)/n]^a * [(n/n+1)]^a
= (n+1)^a / n^a * (n/(n+1))^a
将上面三个式子的结果代入原式，得到：
(n+1)^a / n^a * (n+2)/(n+1))^a - (n+1)^a / n^a * (n/(n+1))^a = a[(c+1)/c]^(a-1)
将左右两边同时乘以 n^a * (n+1)^a，得到：
(n+1)^(2a) * (n+2)^a - n^(2a) * (n+1)^a * (n/(n+1))^a = a * n^a * (n+1)^a * [(c+1)/c]^(a-1)
分子展开，分母提取公因式，得到：
(n+1)^(2a) * (n+2)^a - n^(2a) * (n+1)^(2a) * (n/(n+1))^(a) = a * n^a * (n+1)^(2a-1) * (c+1)^a / c^(a-1)
化简一下，得到：
(n+2)^a - n^a * (n/(n+1))^a = a * n * (c+1)^a / c^(a-1)
将右边的式子移项，得到：
c^(a-1) * (n+2)^a - a * n * (c+1)^a = c^(a-1) * n^a * (n/(n+1))^a
观察左边的式子，可以发现它是一个以 c 为变量的多项式函数。由于 a-1 是大于等于 0 的正整数，因此 c^(a-1) 在 c 趋近无穷大时的增长速度要快于 (c+1)^a。因此，当 c 趋近无穷大时，左边的式子趋近于正无穷。
另一方面，右边的式子可以简化为：
c^(a-1) * n^a * (n/(n+1))^a
= [(n+1)/n]^(-a) * c^a * n^a
= [(n+1)/n]^(-a) * [(n+1)/(n+1-c)]^a * n^a
= [(n+1)/n]^(a+1) * [(n+1)/(n+1-c)]^a
在这个式子中，右边的每一项都是一个以 c 为变量的正整数幂次函数。其中 [(n+1)/n]^(a+1) 在 c 趋近无穷大时趋近于 1，而 [(n+1)/(n+1-c)]^a 在 c 趋近无穷大时趋近于 0。因此，当 c 趋近无穷大时，右边的式子趋近于 0。
综上所述，当 n 趋近无穷大时，y = (n+1)^a / n^a 的极限为正无穷。