2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
本试卷分第I
卷（填空题）和第II
卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本
试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1
．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2
．选择题答案使用2B
铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用0.5
毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3
．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4
．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5
．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据1， ， ， 的标准差锥体体积公式x 2 x n x
2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( ) ] n s x x x x x x
n
1
3
V Sh
其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V Sh S 4πR2， 3 4 π
3
V R
其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径
一、填空题：本大题共1
小题，每小题5
分，共70
分．
1． )最小正周期为，其中，则▲ ．
6
( ) cos(
f x x
5
0
【解析】本小题考查三角函数的周期公式． ．
2π π 10
5
T
【答案】10
2． 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率▲ ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故
3 1 .
6 6 12
P
【答案】
1
12
3． ( , )，则= ▲ ．
1
1 a bi a b R
i
i
表示为a b
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴a＝0，b＝1，因此a＋b＝1．
1 i (1 i)2 i
1 i 2
【答案】1
4． A x (x 1)2 3x 7，则A Z 的元素的个数▲ ．
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由(x 1)2 3x 7得x 2 5x 8 0，
∵Δ＜0，∴集合A 为，因此A Z 的元素不存在．
【答案】0
5． a,b的夹角为， 则▲ ．
120 a 1, b 3,
5a b
【解析】本小题考查向量的线性运算．
5a b 2 (5a b)2 25a 2 b 2 10a b
2 2 ． 25 1 3 10 1 3 ( 1) 49
2
【答案】5a b 7
6． 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是
到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D中随机投一点，
则落入E 中的概率▲ ．
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正
方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内
部，因此．
12
4 4 16
P
【答案】
16
7． 算法与统计的题目
8． 直线y x b是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ．
2
1 y ln x(x 0)
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），
y 1
x
1 1
x 2
x 2
代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
ln 2 1 2
2
b
【答案】ln2－1
x
y
D C
A B
O
9． 在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线
段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC,AB于点E,F ，一
同学已正确算的的方程： ，请你求的方程： OE 0 1 1 1 1
y
p a
x
b c
OF
( ▲ ) 0． 1 1
y
p a
x
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得
1 1
c b
直线AB： x y 1，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB
b a
x y 1
c p
1 1 x 1 1 y 0
c b p a
与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
【答案】
1 1
c b
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为▲ ．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1） 个，
即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第个，即为．
2
2
n n 2
3
2
n n
2 6
2
n n
【答案】
2 6
2
n n
11． 的最小值▲ ．
xz
x y z R x y z y
2
, , , 2 3 0,
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由x 2y 3z 0得3 ，代入得
2
y x z
y 2
xz
，当且仅当x＝3z 时取“＝”．
2 9 2 6 6 6 3
4 4
x z xz xz xz
xz xz
≥
【答案】3
12． 在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆， 2
2
2
2
a b
b
y
a
x a
过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ．
,0
2
c
a e
【解析】如图，切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以
△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．
2
a 2a
c
2
2
e c
a
【答案】2
2
13．若AB 2,AC 2BC ，则的最大值▲ ． ABC S
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝ 2x，
根据面积公式得2 ， 1 sin 1 2 1 cos
ABC 2 2 S AB BC B x B
根据余弦定理得，代入上式得
2 2 2 4 2 ( 2 )2 4 2 cos
2 4 4
B AB BC AC x x x
AB BC x x
，
4 2 2 128 ( 2 12)2 1
ABC 4 16
S x x x
x
由三角形三边关系有解得，
2 2,
2 2 ,
x x
x x
2 2 2 x 2 2 2
故当x 2 3时取得最大值． ABC S 2 2
【答案】2 2
14． f (x) ax 3 3x 1对于x 1,1总有f (x)≥0成立，则a = ▲ ．
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a 取何值， f (x)≥0显然成立；
当x＞0 即x 0,1时， f (x) ax3 3x 1≥0可化为， 2 3
a 3 1
x x
≥
设，则， 2 3
g (x) 3 1
x x
4
g (x) 3(1 2x)
x
所以g (x)在区间0, 1 上单调递增，在区间上单调递减，
2
1 ,1
2
因此max ，从而a≥4；
1
2
g (x) g ( ) 4
x
y
O
A
P
B
当x＜0 即x 1,0时， f (x) ax3 3x 1≥0可化为， 2 3
a 3 1
x x
≤
g (x)在区间1,0上单调递增，因此，从而a≤4，综上a＝4 min g (x) g (1) 4
【答案】4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角, ，它们的终边分别与单位圆
相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为．
5
, 2 5
10
2
（Ⅰ）求tan( )的值；
（Ⅱ）求 2 的值．
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二
倍角的正切公式．
由条件得cos 2 ,cos 2 5 .
10 5
∵, 为锐角，∴sin 1 cos2 7 2 ,
10
sin 1 cos2 5 .因此
5
tan 7, tan 1 .
2
（Ⅰ）
7 1 tan( ) tan tan 2 3. 1 tan tan 1 7 1
2
（Ⅱ） 2 2
2 1 tan 2 2 tan 2 4 ,
1 tan 1 3 1
2
7 4
tan( 2 ) 3 1. 1 7 4
3
∵, 为锐角，∴ ，∴ 0 2 3π
2
2 3π .
4
y
O x
A
B
16．在四面体ABCD 中，CB CD,AD BD ，且E,F 分别是AB,BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；
（Ⅱ）面EFC 面BCD．
【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
（Ⅰ）∵E,F 分别是AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，
∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF ‖面ACD．
（Ⅱ）∵AD BD ，EF‖AD，∴EF BD.
∵CB CD,F 是BD 的中点，∴CF BD.
又EF CF F ，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC 面BCD．
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB 20km,
CB 10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B与等距
离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设BAO(rad)，将y 表示成的函数关系式；
②设OP x(km)，将y 表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO (rad)，则10 ,故
cos cos
OA AQ
BAO
10 ,
cos
OB
又OP＝10－10tanθ，所以， 10 10 10 10 tan
cos cos
y OA OB OP
所求函数关系式为． 20 10sin 10(0 π)
cos 4
y
②若OP x(km)，则OQ＝10－x，所以OA OB (10 x)2 102 x2 20x 200.
所求函数关系式为y x 2 x 2 20x 200(0 x 10)．
（Ⅱ）选择函数模型①， 2 2
10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1) ,
cos cos
y
C
B
A
F
D
E
B
D C
A
O
P
Q
令y 0得sin 1，因为，所以，
2
0 π
4
π
6
当时， ，y 是的减函数；当时， ，y 是的增函数， 0, π
6
y 0 π , π
6 4
y 0
所以当时， 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距π
6
min
20 10 1
2 10 10 3 10.
3
2
y
离AB 边处． 10 3
3
km
18．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x) x2 2x b(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，
经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b）；
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0 得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0 得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－（b＋1）y＋b＝0．
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
19．（Ⅰ）设n 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差，若将此数列删去某一a ,a ,......a 1 2 n≥4 d 0
项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n 4时，求的数值；②求的所有可能值；
d
a1
n
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 1 2 , ,...... n b b b
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n＝4 时，a1，a2，a3，a4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，
则推出d＝0．
若删去a2，则有a3
2＝a1·a4，即（a1＋2d）2＝a1·（a1＋3d）．
化简得a1d＋4d2＝0，因为d≠0，所以a1＋4d＝0，故得1 4； a
d
若删去a3，则有a2
2＝a1·a4，即（a1＋d）2＝a1·（a1＋3d）．
化简得a1d＝d2，因为d≠0，所以a1＝d，故得1 1． a
d
综上1 1或－4． a
d
②当n＝5 时，a1，a2，a3，a4，a5 中同样不可能删去首项或末项．
若删去a2，则有a1·a5＝a3·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋2d）·（a1＋3d）．
化简得a1d＋6d2＝0，因为d≠0，所以a1＋6d＝0，故得1 6； a
d
若删去a3，则a1·a5＝a2·a4，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋3d）．
化简得3d2＝0，因为d≠0，所以也不能删去a3；
若删去a4，则有a1·a5＝a2·a3，即a1·（a1＋4d）＝（a1＋d）·（a1＋2d）．
化简得a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，故得1 2． a
d
当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an 中，
由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；同样若删
去an－1 也有a1·an＝a3·a n－2，这与d≠0 矛盾；若删去a3，…，an－2 中任意一个，则必有
a1·an＝a2·a n－1，这与d≠0 矛盾．
综上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
20．若为常数，且1 2 1 2 f (x) 3 x p1 , f (x) 2 3 x p2 ,x R, p , p 1 1 2
2 1 2
( ), ( ) ( )
( )
( ), ( ) ( )
f x f x f x
f x
f x f x f x
≤
（Ⅰ）求( ) ( )对所有实数成立的充要条件（用表示）； 1 f x f x x 1 2 p , p
（Ⅱ）设a,b为两实数，a b且, ( , )，若， 1 2 p p a b f (a) f (b)
求证： f (x)在区间a,b上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．
2
b a m,n n m
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．
（Ⅰ） ( ) ( )恒成立1 f x f x 1 2 f (x)≤ f (x)
1 2
1 2
1 2 3
3 2 3
3 2
log 2 ( )
x p x p
x p x p
x p x p
≤
≤
≤
若p1＝p2，则，显然成立；若p1≠p2，记3 () 0≤log 2 1 2 g (x) x p x p
当p1＞p2 时，
1 2 2
1 2 2 1
2 1 1
, ;
( ) 2 , ;
, .
p p x p
g x x p p p x p
p p x p
≤ ≤
所以，故只需． max 1 2 g (x) p p 1 2 3 p p ≤log 2
当p1＜p2 时，
1 2 1
1 2 1 2
2 1 2
, ;
( ) 2 , ;
, .
p p x p
g x x p p p x p
p p x p
≤ ≤
所以，故只需． max 2 1 g (x) p p 2 1 3 p p ≤log 2
综上所述， ( ) ( )对所有实数成立的充要条件是． 1 f x f x x 1 2 3 p p ≤log 2
（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线x＝p1 对称． 1 2 3 p p ≤log 2 ( ) ( ) 1 f x f x
因为f (a) f (b)，所以区间a,b关于直线x＝p1对称．
因为减区间为 ，增区间为，所以单调增区间的长度和为． 1 a, p 1p ,b
2
b a
2°如果，结论的直观性较强，一时未找到合适的说明方法．略． 1 2 3 p p log 2
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