求2z=2-x^2-y^2 被z=0的截面积

Question

RT

Answer 1

曲面 2z=2-x²-y² 是一旋转抛物面（其中 z≤1），被 z=0 所截的封闭部分位于 0≤z≤1 之间、形状类似倒置的铁锅，竖切面是抛物线 x²=2(1-z)（或 y²=2(1-z)）的一部分；
若对应 z 处抛物线的微分弧长为 ds=√(1+x'²) dz=√[1+(-2/x)²] dz=√{1+[1/2(1-z)]} dz；
对应 z 处微分面积为 dσ=πR²ds=π(x²+y²)ds=π[2(1-z)]*√{1+[1/2(1-z)]} dz=π√[4(1-z)²+2(1-z)]dz；
抛物面被截部分的面积 S=∫dσ=∫π√[4(1-z)²+2(1-z)]dz=2π∫√[(5/4 -z)² -(1/16)]dz
=-π{(5/4 -z)√[(5/4 -z)²-(1/16)]-(1/16)ln[(5/4 -z)+√((5/4 -z)²-(1/16))]}|{0,1}
=π{(5/4)√[(5/4)²-(1/16)]-(1/16)ln[(5/4)+√((5/4)²-(1/16))]}
- π{(5/4 -1)√[(5/4-1)²-(1/16)]-(1/16)ln[(5/4)+√((5/4 -1)²-(1/16))]}
=π{5√6/8 -(1/16)ln[(5+2√6)/4]} +π[(1/16)ln(5/4)]
=5π√6/8 -(π/16)ln[1 +2√6/5]；

Answer 2

试试看：