线性代数的题，高手帮帮忙啊

Question

4，5，6题

Answer 1

欢迎追问，若略有帮助，请点一下采纳，谢谢！

追问

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Answer 2

4. A=(a1,a2,a3,a4)=
[ 1 -2 3 2]
[-2 3 -5 -4]
[ 3 -2 5 6]
[-4 1 -4 -7]
行初等变换为
[1 -2 3 2]
[0 -1 1 0]
[0 4 -4 0]
[0 -7 8 1]
行初等变换为
[1 -2 3 2]
[0 1 -1 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]
该向量组的一个极大线性无关组是 a1, a2, a3.
再行初等变换为
[1 -2 0 -1]
[0 1 0 1]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]
行初等变换为
[1 0 0 1]
[0 1 0 1]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]
则 a4=a1+a2+a3.

5. 方程组的增广矩阵 A=
[1 -1 -1 2 -1]
[2 -3 2 -1 2]
[3 -5 5 -4 t]
行初等变换为
[1 -1 -1 2 -1]
[0 -1 4 -5 4]
[0 -2 8 -10 t+3]
行初等变换为
[1 -1 -1 2 -1]
[0 1 -4 5 -4]
[0 0 0 0 t-5]
方程组有解的充要条件是 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，则 t-5=0，t=5.
此时方程组同解变形为
x1-x2=x3-2x4-1
x2=4x3-5x4-4
特解为 (-5, -4, 0, 0)^T, 导出组的基础解系为 (5, 4, 1, 0)^T, (-7, -5, 0, 1)^T,
通解为 x=(-5, -4, 0, 0)^T+k(5, 4, 1, 0)^T+h (-7, -5, 0, 1)^T, 其中k，h为任意常数。

6， A=
[ 2 -1 -1]
[-1 2 -1]
[-1 -1 2]
|λE-A|=
|λ-2.........1...........1|
|1..........λ-2.........1|
|1.............1.... ..λ-2|
得 |λE-A|= λ(λ-3)^2=0, 特征值 λ=3,3,0.
对于重特征值 λ=3，λE-A=
[ 1 1 1]
[ 1 1 1]
[ 1 1 1]
行初等变换为
[ 1 1 1]
[ 0 0 0]
[ 0 0 0]
特征向量为 a1=(1, -1, 0)^T, a2=(1, 0, -1)^T.
先正交化，取 b1=a1=(1, -1, 0)^T, b2=kb1+a2, 则
k=-(b1)^Ta2/[(b1)^Tb1]=-1/2, b2=-b1/2+a2=(1/2, 1/2, -1)^T,
再单位化为(1/√2, -1/√2, 0)^T，(1/√6, 1/√6, -2/√6)^T.

对于特征值 λ=0，λE-A=
[-2 1 1]
[ 1 -2 1]
[ 1 1 -2]
特征向量为 (1, 1, 1)^T, 单位化为(1/√3, 1/√3, 1/√3)^T.
取 正交矩阵 T=
[ 1/√2 1/√6 1/√3]
[-1/√2 1/√6 1/√3]
[ 0 -2/√6 1/√3]
则得 T^(-1)AT=T^(T)AT=
[ 3 0 0]
[ 0 3 0]
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