射影直线与射影平面
1.1 中心射影与无穷远元素
定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。A′叫做A从O投射到a′上的对应点。OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。
显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。选取射心不同，就会得到不同的中心射影。
如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。
在欧氏平面上，中心射影不是一一的。如果a上点P使OP‖a′，则P没有对应点。同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′‖a，则Q′的对应点也不存在。点P和Q′叫影消点。
类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。
为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。于是，我们约定：
约定1 在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。平面上原有的点称为有穷远点。
由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。
另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。
约定2 平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。平面内原有的直线称为有穷远直线。
可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。
约定3 空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。空间中原有平面叫有穷远平面。
定义1.2 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。
平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。
例1 证明一组平行平面相交于一条无穷远直线。
证 在组中的一个平面内任取一条直线l，设l上的无穷远点为P∞，过l作一平面与组中其它平面必相交于一组平行直线，此组平行直线有公共的无穷远点P∞，于是P∞必在此组平行平面的每一个平面上。由于所取直线l的任意性，所以此组平行平面必有无数多个公共无穷远点，其轨迹为一条无穷远直线，即一组平行平面必相交于一条无穷远直线。
例2 在一个中心射影中，O为射影中心，在一平面的影消线上取定两点P，Q，在平面上，任取一点R。求证∠PRQ经中心射影后等于常量。
证明 因为P，Q为影消线上两点，O为射心，所以OP‖，OQ‖。若∠PRQ在平面内的射影为∠P′R′Q′，则
OP‖R′P′，OQ‖R′Q′
于是
∠POQ=∠P′R′Q′
而∠POQ为定值，所以∠PRQ经射影后为一定值。
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点等同看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。
射影直线是一条封闭直线，通常用圆作为射影直线的模型。
定义1.6 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。
射影平面也是封闭的。
因为射影直线是封闭的，一个点不能把它分成两部分，要两个不同的点才能把射影直线分成两段。射影直线上的三个点，不能排成唯一的顺序。
同样，射影平面也与欧氏平面很不相同。
在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域。在射影平面上，一条直线并不能把该平面分成两个区域。因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交。
在欧氏平面上，两条相交直线可以把平面分成四个区域。而在射影平面上，由于直线是封闭的，而二直线有且只有一个交点，所以两直线只能把射影平面分成两个区域。
在射影平面上，两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。
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