平移法求二重积分

Question

平移法求二重积分如图划线部分怎么来的为什么？

Answer 1

换元后积分区域变成关于u，v的圆形区域：

1、奇函数在对称区间的积分等于0

第一项uv^2关于u为奇函数，而积分区域关于u=0对称，所以积分等于0

2、轮换对称性

积分区域u^2+v^2=(a/2)^2，交换u，v后v^2+u^2=(a/2)^2，与原来积分区域一致，所以这个积分区域满足轮换对称性，因此：∫∫a/2*v^2dudv = ∫∫a/2*u^2dudv，进而得到：

∫∫a/2*v^2dudv = 1/2 *(  ∫∫a/2*v^2dudv + ∫∫a/2*u^2dudv  ) = a/4 * ∫∫（ u^2+v^2) dudv

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