线性代数矩阵的幂计算方法

Question

如题所述

Answer 1

一般解法是求出矩阵的Jordan标准型及过渡矩阵
设矩阵A的Jordan标准型为J，P是可逆矩阵使得A=PJP^(-1)，则A^k=PJ^KP^(-1)
J的形式比较简单，它除了对角线及对角线上面一斜列不为0外，其他位置全为0，J的幂次很容易计算。

Answer 2

你好！如图把a拆为一个数量阵与幂零阵之和就好做了。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 3

一般有以下几种方法
1.
计算A^2,A^3
找规律,
然后用归纳法证明
2.
若r(A)=1,
则A=αβ^T,
A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注:
β^Tα
=α^Tβ
=
tr(αβ^T)
3.
分拆法:
A=B+C,
BC=CB,
用二项式公式展开
适用于
B^n
易计算,
C的低次幂为零矩阵:
C^2
或
C^3
=
0.
4.
用对角化
A=P^-1diagP
A^n
=
P^-1diag^nP
比如第一题适合用第2种方法,
A=(-1,1,1,-1)^T
(1,-1,-1,1)
第二题适合用第4种方法,
这要学过特征值特征向量后才行