求证：a^4+b^4=c^4+d^4,{a,b}≠{c,d},无正整数解

Question

如题所述

Answer 1

a^4+b^4=c^4+d^4,{a,b}≠{c,d},无正整数解 这题很容易，
我们首先来看这道题，到底给了我们什么信息。这个题是一个4次的方程。貌似有4个未知数， a,b,c,d那么我们怎么看这些未知数呢？我们可以把他们其中的一个看做未知其他的看做已经知道的数来看待。就好解决了。
要明确一个问题，一般4次方程，比如这个四次方程，如果把a看做未知的话，应该有4个解。包括复数领域内的，但是我们看到复数不是正整数，所以这个题我只从实数领域来回答你的提问！
把方程a^4+b^4=c^4+d^4题中说无正整数解就是说，未知数a,b,c,d不是正整数，我们可以假设a,b,c,d均为正整数那么他们的4次方也为正整数，这是必然的。但是我们反过来来看，如果等式成立的话他们开4次方之后a,b,c,d还能是正整数么？按题意要求4个数是不相等的。所以排除了1.0的可能，因为要求解是正整数也排除了a=-c,d=-b是相反数的可能。 a^4=c^4+d^4-b^4 如果 a取最小值1的话，那么右边c .d的值根据题意肯定不是一，那就算是2的话，那就等于32，那么b很显然只能取31才能满足要求，当然31根本就不能开4次方，假设我们在取值的话，也满足不了要求，因为跟着数的增加，没有取到到一的可能。但是我们找到一组数 7 239 157 227，他使得能满足这个题的要求。他们的4次方就是使得等式成立，也就是说楼主这个题出的不对了！那么怎么来说明这个问题呢！我们来看等式a^4-c^4=d^4-b^4很明显方程两边可以换成两个不等式乘的方式，那么也就是说要找到两个公因式乘积两边分别相等，如果纯在正整数都是质数的情况，比如1x2=2只能由2X1=2来表示的话那当然这个题成立了！但是我们应该看到比如。128这个数，能用2X64，还可以用32X4来表示，那么我们说有没有4个整数他们的4次方分别相加相等的呢！是有的。比如我上面举的例子！就是其中之一。那么我们怎么证明这个题呢！说它不成立呢！我想说的是没有办法证明！就比如说，要我们证明为什么x+Y=10一样，因为就是个等式我们只要找到一组数值符合这个等式就成立了！而且这些数值是多样的，你出的在、这个题！也能做出相应的方程来的，以后请楼主不要出这些旮旯的题了！因为这样专牛角没用的! 以前和你一样的我，吃了很多亏！希望楼主把时间用在学习上！学习知识上！我相信你肯定是清华的料！！当你站在顶峰在看这些问题时！就像吃饭哪样容易！真正的研究要赶上时代的前沿！ 还是希望吧分给我！谢谢楼主我是第一个看到你的提问的！由于我找了很长时间的数！所以晚了！你这个其实要是做图的话！就是关于一些点矩阵！！！的函数了，希望你可以多学习些数学的知识！你就明白了！这样的问题该怎么求解了！谢谢！

Answer 2

若你学过均值不等式
则a^4+b^4+c^4+d^4>=4(a^4*b^4*c^4*d^4)的四次方根=4abcd
当且仅当a=b=c=d时取等号
所以a=b=c=d

如果你没有学过均值不等式
则
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0，所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d追问

答非所问！

Answer 3

楼主 不好意思 我找到了如下的解
7 239 157 227
14 478 314 454
24 500 244 440
48 436 224 332
59 158 133 134
64 432 160 400
80 336 304 304
88 464 160 376
118 316 266 268
124 388 180 364
128 448 256 320
132 464 224 388
177 474 399 402
193 292 256 257
201 439 283 323
208 432 240 240
224 480 416 416

Answer 4

3楼正解。此命题为不成立

Answer 5

有59 158 133 134符合，你的论题会不会有问题