向量平行的充要条件

Question

为什么已知向量a，b，由a‖b无法推出λa+b=0，而λa+b=0可推出a‖b，我看书看了几遍也没想出来。
高中书上的原话是知道两个向量a，b（b≠0），若a=λb，则说明a平行b

Answer 1

你错了，这本来就是充要条件。
很好理解啊，两个向量平行可以推出一定存在一个常数λ使λa+b=0可以看任意两条向量，两者的模长之间的关系不定，λ在这里是不定的。
要使λa+b=0，必有向量λa与向量b的方向相反(λ>0)或相同（λ<0)，必有常数λ使向量λa与向量b的模长相等。由于两向量方向相反或相同就是证明了两向量平行。当然，还有a≠0,b=0,λ=0的情况，但是b作为零向量是与任何向量平行的，所以就证明了充分性。
必要性比较好理解，λa+b=0就是λa=-b就可以推到a‖b。

Answer 2

平行了，说明两向量之间的夹角是0或者180。向量a乘向量b
=
向量a的模*向量b的模*cos（向量a和向量b的夹角），由此可得

Answer 3

向量相加为0，必然方向相同或相反，常数不改变方向。 两个向量平行可以推出一定存在一个常数m使ma+b=0

Answer 4

“λa+b=0可推出a‖b”这个欠完整，如果a≠0,b=0,λ=0,则不可推出a‖b
由a‖b可以推出λa+b=0

Answer 5

看向量平行定义和线性相关定义