证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数

如题所述

推荐答案 2011-04-17

1.高等代数上有个定理：对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩阵T，使T'AT成对角型，而对角线上的元素就是它的特征根。由此，开证，
（1）充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时，对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数，所以T'AT为正定矩阵，又T为正交阵，所以A是正定阵。
（2）必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵，所以存在一个正交矩阵T，使T'AT成对角型的对角线上的元素均为正值，而对角线上的元素又为A的所有特征值，即A的特征值均为正数。
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