初三关于圆的数学

Question

四边形ABCD内接于圆O，弧AC=弧CE，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，连CO。
①求证：CO⊥AE
②若BD=2 AE=8 求△AOC的面积

Answer 1

(1)
延长 CO交AE于M
因为弧AC=弧CE，则∠MAC=∠ABC
又因为△BCD∽三角形BAC
则∠BCD=∠BAC=∠MCA
则△BCD∽△ACM
所以∠BDC= ∠CMA=90°
所以CM⊥AE,也即CO⊥AE

(2)
因为△BDC∽△AMC，BD=2,AE=8
则BD/AM=BC/AC=2/4=1/2
又因为△BDC∽△BCA,则
BD/CD=BC/AC=1/2
则CD=2BD=4
又因为△ACD∽△ABC,则
CD/AD=BC/AC=1/2
则AD=8
所以AO=(1/2)(BD+AD)=5
所以△AOC的面积为(1/2)(AO*CD)=(1/2)*5*4=10

Answer 2

(1)连接CE，延伸CO相交AE于F点
弧AC=弧CE，可知AC=CE
OA=OC=OE=r
△ACO与△ECO三边相等
△ACO≌△ECO
∠ACO=∠ECO，∠AEC=∠EAC
在△ACE中
∠AEC+∠EAC+∠ACE=∠AEC+∠EAC+∠ACO+∠ECO =180º
∠EAC+∠ACO=90º
在△ACF中有∠AFC=90º
所以CO⊥AE
（2）由AO=CO，∠ODC=∠AFO=90º，∠DOC=∠AOF
可得△AFO≌△CDO
所以有OF=OD
BD=2 AE=8
OF=OD=OB-BD=r-2，AF=1/2*AE=4
△AOF的面积=1/2*AF*OF=2r-4
△ACF的面积=1/2*AF*CF=1/2*AF*(OC+OF)=4r-4
在△AOF中有r^2=（r-2）^2+4^2
r=6
△ACO的面积=△ACF的面积-△AOF的面积=2r=12

Answer 3

（1）连接CE，则圆O是三角形CAE的外接圆，
所以点O是三角形的三条边的垂直平分线的交点
所以CO⊥AE
（2）不知道